حل السؤال 11، 4PM1/02 يناير 2020: قوانين الجمع
Pearson Edexcel International GCSE Further Pure Mathematics 4PM1 · Paper 2 · بالآلة الحاسبة · 13 درجة
الشرح بالعربية، والحل بالإنجليزية كما يُكتب في ورقة الامتحان. للصيغة الأصلية للسؤال ارجع إلى ورقة الامتحان الرسمية.
الجزء (a) · 4 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
معادلة: ثلاثة أمثال جيب الفرق بين زاويتين تساوي جيب مجموعهما. المطلوب كتابتها على صورة: ظل الزاوية الأولى يساوي عددًا صحيحًا مضروبًا في ظل الثانية، وإيجاد هذا العدد.
كيف تحلّه؟
فك جيب الفرق وجيب المجموع بقانوني المجموع والفرق. اجمع الحدود المتشابهة في طرفين. ثم اقسم المعادلة كلها على حاصل ضرب جيبي تمام الزاويتين، فيتحول كل جيب مقسوم على جيب تمام زاويته إلى ظل. الفخ: الخطأ في إشارة الحد الثاني من جيب الفرق.
- 13 sin A cos B − 3 cos A sin B = sin A cos B + cos A sin B
- 22 sin A cos B = 4 cos A sin B
- 3Divide by cos A cos B: 2 tan A = 4 tan B
- 4tan A = 2 tan B, so k = 2
Answertan A = 2 tan B, k = 2
الجزء (b) · 3 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
المطلوب «بيّن أن» الفرق بين القوة الرابعة لجيب التمام والقوة الرابعة للجيب، مقسومًا على مربع جيب التمام، يساوي واحدًا ناقص مربع الظل.
كيف تحلّه؟
البسط فرق بين مربعين: مربع جيب التمام ومربع الجيب. حلّله إلى قوسين، أحدهما مجموع المربعين وهو يساوي واحدًا بالمتطابقة الأساسية. اقسم ما بقي على مربع جيب التمام حدًا حدًا، فيصبح الحد الثاني مربع الظل. الفخ: محاولة فك القوى الرابعة بدل التحليل.
- 1cos⁴θ − sin⁴θ = (cos²θ − sin²θ)(cos²θ + sin²θ)
- 2cos²θ + sin²θ = 1
- 3So the expression = (cos²θ − sin²θ)/cos²θ
- 4= 1 − sin²θ/cos²θ = 1 − tan²θ
Answer(cos⁴θ − sin⁴θ)/cos²θ = 1 − tan²θ shown
الجزء (ci) · درجتان
ماذا يطلب السؤال؟
باستخدام القيم الدقيقة للزوايا ثلاثين وخمس وأربعين وستين، المطلوب «بيّن أن» جيب تمام خمس عشرة درجة يساوي العبارة المعطاة بالجذور.
كيف تحلّه؟
اكتب خمس عشرة درجة فرقًا بين زاويتين معروفتين: خمس وأربعين ناقص ثلاثين. طبّق قانون جيب تمام الفرق، وفيه إشارة جمع بين الحدين. عوّض بالقيم الدقيقة واضرب الجذور ثم اجمع الكسرين. الفخ: استخدام إشارة الطرح في قانون جيب تمام الفرق.
- 1cos 15° = cos(45° − 30°) = cos 45° cos 30° + sin 45° sin 30°
- 2= (√2/2)(√3/2) + (√2/2)(1/2)
- 3= √6/4 + √2/4 = (√6 + √2)/4
Answercos 15° = (√6 + √2)/4 shown
الجزء (cii) · 4 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
باستخدام القيم الدقيقة للزوايا الخاصة، المطلوب «بيّن أن» ظل مئتين وخمس وخمسين درجة يساوي الكسر المعطى بالجذور.
كيف تحلّه؟
الظل يتكرر كل مئة وثمانين درجة، فاطرحها لتحصل على زاوية حادة. اكتب هذه الزاوية مجموع ثلاثين وخمس وأربعين، وطبّق قانون ظل المجموع. عوّض بالقيم الدقيقة، ثم اضرب البسط والمقام في العدد نفسه لإزالة الكسور الداخلية حتى تصل للصورة المعطاة. الفخ: التعامل مع الزاوية الكبيرة دون اختزالها.
- 1tan 255° = tan(255° − 180°) = tan 75°
- 2tan 75° = tan(30° + 45°) = (tan 30° + tan 45°)/(1 − tan 30° tan 45°)
- 3= (1/√3 + 1)/(1 − 1/√3)
- 4Multiply top and bottom by 3: (√3 + 3)/(3 − √3)
- 5= (3 + √3)/(3 − √3)
Answertan 255° = (3 + √3)/(3 − √3) shown
تحتاج إلى الشرح من البداية؟ درس قوانين الجمع بالعربي
تدرّب على أسئلة قوانين الجمع
حلّ بنفسك، وصحّح كما في الامتحان، واعرف أين ضاعت الدرجة بالضبط.
تدرّب مجاناً على Lemmara