حل السؤال 6، 4PM1/02 يناير 2020: أحجام الدوران
Pearson Edexcel International GCSE Further Pure Mathematics 4PM1 · Paper 2 · بالآلة الحاسبة · 8 درجات
الشرح بالعربية، والحل بالإنجليزية كما يُكتب في ورقة الامتحان. للصيغة الأصلية للسؤال والرسم ارجع إلى ورقة الامتحان الرسمية.
الجزء (a) · درجتان
ماذا يطلب السؤال؟
من الشكل: منحنى تربيعي وخط مستقيم يمر بنقطة الأصل ويقطع المنحنى في نقطة أخرى. المطلوب «بيّن أن» إحداثيات هذه النقطة هي القيمتان المعطاتان.
كيف تحلّه؟
اجعل الصاد موضوع القانون في معادلة الخط، ثم ساوِها بمعادلة المنحنى. رتّب وأخرج السين عاملًا مشتركًا: أحد الحلين نقطة الأصل، والآخر نقطة التقاطع المطلوبة. عوّض لتجد الصاد وتصل إلى الإحداثيين المعطيين. الفخ: القسمة على السين دون ذكر أن حل الصفر هو نقطة الأصل.
- 1Line: y = x/2. Set 2x − x² = x/2
- 2x² − (3/2)x = 0, so x = 0 or x = 3/2
- 3x = 3/2 gives y = 3/4
- 4A = (3/2, 3/4)
Answer(3/2, 3/4) lies on both the curve and the line
الجزء (b) · 6 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
تدور المنطقة المظللة بين المنحنى والخط دورة كاملة حول محور السينات. المطلوب حجم المجسم الناتج بالتكامل الجبري، بدلالة باي.
كيف تحلّه؟
الحجم هو حجم دوران المنحنى ناقص حجم دوران الخط، بين نقطة الأصل ونقطة التقاطع. لكل منهما: باي في تكامل مربع الصاد بالنسبة للسين. ربّع عبارة المنحنى وفك القوس قبل التكامل. حجم الخط مخروط، فيمكن حسابه بالتكامل أو بقانون المخروط. الفخ: طرح الدالتين أولًا ثم التربيع، والصحيح طرح المربعين.
- 1Volume under curve = π ∫ from 0 to 3/2 of (2x − x²)² dx = π ∫ (4x² − 4x³ + x⁴) dx
- 2= π[4x³/3 − x⁴ + x⁵/5] from 0 to 3/2 = 153π/160
- 3Cone from the line: π ∫ from 0 to 3/2 of (x/2)² dx = 9π/32
- 4Volume = 153π/160 − 45π/160 = 27π/40
Answer27π/40
تحتاج إلى الشرح من البداية؟ درس أحجام الدوران بالعربي
تدرّب على أسئلة أحجام الدوران
حلّ بنفسك، وصحّح كما في الامتحان، واعرف أين ضاعت الدرجة بالضبط.
تدرّب مجاناً على Lemmara