حل السؤال 4، 4PM1/02 يونيو 2023: المعادلات الآنية مع منحنى
Pearson Edexcel International GCSE Further Pure Mathematics 4PM1 · Paper 2 · بالآلة الحاسبة · 8 درجات
الشرح بالعربية، والحل بالإنجليزية كما يُكتب في ورقة الامتحان. للصيغة الأصلية للسؤال والرسم ارجع إلى ورقة الامتحان الرسمية.
الجزء (a) · 4 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
منحنى تربيعي وخط مستقيم يتقاطعان في نقطتين كما في الشكل. المطلوب: أولًا «بيّن أن» نقطة التقاطع الأولى هي النقطة المعطاة على محور الصادات، وثانيًا إحداثيات نقطة التقاطع الثانية.
كيف تحلّه؟
اجعل الصاد موضوع القانون في معادلة الخط ثم ساوِها بمعادلة المنحنى. اضرب في أربعة لإزالة الكسور، فيُختصر العدد الثابت وتبقى معادلة تربيعية بلا حد ثابت؛ أخرج السين عاملًا مشتركًا. الجذر صفر يعطي النقطة الأولى، والآخر يعطي الثانية، ثم عوّض لتجد الصاد. الفخ: القسمة على السين فيضيع الجذر صفر.
- 1Line: y = (x + 4)/2
- 2x²/4 + 2 = (x + 4)/2, so x² + 8 = 2x + 8
- 3x² − 2x = 0, x(x − 2) = 0
- 4x = 0 gives y = 2: A(0, 2)
- 5x = 2 gives y = 3: B(2, 3)
Answer(i) A(0, 2) shown (ii) B(2, 3)
الجزء (b) · 4 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
المنطقة المظللة بين المنحنى والخط تُدار دورة كاملة حول محور الصادات. المطلوب «باستخدام التكامل الجبري» حجم المجسم بدلالة النسبة التقريبية.
كيف تحلّه؟
الدوران حول محور الصادات، فالتكامل بالنسبة للصاد ونحتاج مربع السين بدلالة الصاد للمنحنى وللخط. الحجم يساوي النسبة التقريبية في تكامل (مربع السين للحد الأبعد عن المحور ناقص مربعها للحد الأقرب) بين صادي النقطتين. حدّد الأبعد بقيمة بين الحدين، ثم كامل وعوّض. الفخ: التكامل بالنسبة للسين، أو طرح البعدين قبل التربيع.
- 1About the y-axis: curve x² = 4y − 8, line x = 2y − 4
- 2V = π∫ from 2 to 3 of (4y − 8) dy − π∫ from 2 to 3 of (2y − 4)² dy
- 3= π∫ from 2 to 3 of (−4y² + 20y − 24) dy
- 4= π[−4y³/3 + 10y² − 24y] from 2 to 3
- 5= π[(−36 + 90 − 72) − (−32/3 + 40 − 48)] = π(−18 + 56/3)
- 6= (2/3)π
Answer(2/3)π
تحتاج إلى الشرح من البداية؟ درس المعادلات الآنية مع منحنى بالعربي
تدرّب على أسئلة المعادلات الآنية مع منحنى
حلّ بنفسك، وصحّح كما في الامتحان، واعرف أين ضاعت الدرجة بالضبط.
تدرّب مجاناً على Lemmara