حل السؤال 9، 4PM1/02 يناير 2020: المماسات والأعمدة والنقاط الثابتة (متقدم)
Pearson Edexcel International GCSE Further Pure Mathematics 4PM1 · Paper 2 · بالآلة الحاسبة · 16 درجة
الشرح بالعربية، والحل بالإنجليزية كما يُكتب في ورقة الامتحان. للصيغة الأصلية للسؤال ارجع إلى ورقة الامتحان الرسمية.
الجزء (a) · 7 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
منحنى معادلته كسر: بسطه فيه ثابت مجهول مضروب في السين، ومقامه السين ناقص ثابت آخر. الخط المعطى هو العمودي (الناظم) على المنحنى عند نقطة قطعه لمحور الصادات. المطلوب «بيّن أن» ثابت المقام يساوي واحدًا، ثم أوجد ثابت البسط.
كيف تحلّه؟
نقطة القطع لمحور الصادات تقع على الخط أيضًا، فاحسبها من معادلة الخط بوضع السين صفرًا. عوّض بها في معادلة المنحنى لتصل إلى ثابت المقام. ثم اشتق المنحنى بقاعدة القسمة. ميل الناظم من معادلة الخط، وميل المماس سالب مقلوبه. ساوِ المشتقة عند السين صفر بميل المماس وحلّ. الفخ: مساواة المشتقة بميل الناظم نفسه.
- 1l meets the y-axis at (0, 2), so A = (0, 2)
- 2At x = 0: y = −2/(−p) = 2/p = 2, so p = 1
- 3dy/dx = (q(x − 1) − (qx − 2))/(x − 1)² = (2 − q)/(x − 1)²
- 4Normal gradient 1, so tangent gradient at A is −1
- 5At x = 0: 2 − q = −1, so q = 3
Answerp = 1 shown; q = 3
الجزء (b) · 5 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
المطلوب رسم تخطيطي للمنحنى يبيّن خطّي التقارب ونقاط تقاطعه مع المحورين بإحداثياتها.
كيف تحلّه؟
خط التقارب الرأسي عند القيمة التي تجعل المقام صفرًا. والأفقي هو نسبة معامل السين في البسط إلى معاملها في المقام، لأن الصاد تقترب منها عندما تكبر السين جدًا. نقاط المحورين: ضع السين صفرًا ثم الصاد صفرًا. ارسم الفرعين في ربعين متقابلين حول نقطة التقاء الخطين، يقتربان منهما دون أن يلمساهما. الفخ: رسم فرع يقطع خط التقارب.
- 1Vertical asymptote x = 1; horizontal asymptote y = 3
- 2x = 0 gives y = 2; y = 0 gives x = 2/3
- 3y = 3 + 1/(x − 1), so the branches lie top-right and bottom-left of (1, 3)
- 4Draw both branches approaching but not touching the asymptotes
AnswerTwo-branch rectangular hyperbola y = (3x − 2)/(x − 1) with asymptotes x = 1 and y = 3; crosses the y-axis at (0, 2) and the x-axis at (2/3, 0); branches lower-left and upper-right of the asymptotes' intersection
الجزء (c) · 4 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
يلتقي الخط المعطى بالمنحنى مرة ثانية في نقطة أخرى. المطلوب الإحداثي السيني لهذه النقطة.
كيف تحلّه؟
ساوِ معادلة المنحنى بمعادلة الخط، واضرب الطرفين في المقام. رتّب لتحصل على معادلة تربيعية وأخرج العامل المشترك. أحد الحلين هو نقطة القطع لمحور الصادات المعروفة سابقًا، فخذ الحل الآخر. الفخ: الإجابة بالحل المعروف.
- 1(3x − 2)/(x − 1) = x + 2
- 23x − 2 = (x + 2)(x − 1) = x² + x − 2
- 3x² − 2x = 0, so x(x − 2) = 0
- 4x = 0 is A, so D has x = 2
Answerx = 2
تحتاج إلى الشرح من البداية؟ درس المماسات والأعمدة والنقاط الثابتة (متقدم) بالعربي
تدرّب على أسئلة المماسات والأعمدة والنقاط الثابتة (متقدم)
حلّ بنفسك، وصحّح كما في الامتحان، واعرف أين ضاعت الدرجة بالضبط.
تدرّب مجاناً على Lemmara