حل السؤال 5، 4PM1/02R يناير 2020: جذرا α و β للمعادلة التربيعية
Pearson Edexcel International GCSE Further Pure Mathematics 4PM1 · Paper 2R · بالآلة الحاسبة · 12 درجة
الشرح بالعربية، والحل بالإنجليزية كما يُكتب في ورقة الامتحان. للصيغة الأصلية للسؤال ارجع إلى ورقة الامتحان الرسمية.
الجزء (a) · درجتان
ماذا يطلب السؤال؟
«بيّن أن» مكعب مجموع ألفا وبيتا ناقص ثلاثة أمثال حاصل ضربهما في مجموعهما يساوي مكعب ألفا زائد مكعب بيتا. هي متطابقة جبرية تُثبت بالفك.
كيف تحلّه؟
فكّ مكعب المجموع إلى أربعة حدود: المكعبان وحدّان أوسطان معامل كل منهما ثلاثة. ثم فكّ الحد المطروح فتجد الحدين الأوسطين نفسيهما. بالطرح يختفيان ويبقى مجموع المكعبين. الفخ: الخطأ في معاملات فك المكعب.
- 1(α + β)³ = α³ + 3α²β + 3αβ² + β³
- 23αβ(α + β) = 3α²β + 3αβ²
- 3Subtract: α³ + β³
Answer(α + β)³ − 3αβ(α + β) = α³ + β³ shown
الجزء (b) · درجتان
ماذا يطلب السؤال؟
ألفا وبيتا جذرا معادلة تربيعية معطاة. «دون حل المعادلة» المطلوب قيمة مجموع مكعبي الجذرين.
كيف تحلّه؟
من المعادلة: مجموع الجذرين هو سالب معامل السين على معامل مربع السين، وحاصل ضربهما هو الحد الثابت على معامل مربع السين. عوّض بهاتين القيمتين في المتطابقة من الجزء الأول واحسب بالكسور. الفخ: نسيان الإشارة السالبة في مجموع الجذرين.
- 1α + β = −3/2, αβ = 3
- 2α³ + β³ = (−3/2)³ − 3(3)(−3/2) = −27/8 + 27/2 = 81/8
Answer81/8
الجزء (c) · درجتان
ماذا يطلب السؤال؟
«بيّن أن» مربع مجموع مربعي الجذرين ناقص ضعف مربع حاصل ضربهما يساوي مجموع القوتين الرابعتين للجذرين.
كيف تحلّه؟
فكّ مربع المجموع: مربع الأول زائد ضعف حاصل ضربهما زائد مربع الثاني. الحد الأوسط هو ضعف مربع حاصل ضرب الجذرين، فبطرحه يبقى مجموع القوتين الرابعتين. اكتب الخطوات كاملة لأن المطلوب إثبات.
- 1(α² + β²)² = α⁴ + 2α²β² + β⁴
- 2Subtract 2(αβ)² = 2α²β²: α⁴ + β⁴
Answer(α² + β²)² − 2(αβ)² = α⁴ + β⁴ shown
الجزء (d) · 6 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
المطلوب تكوين معادلة تربيعية معاملاتها أعداد صحيحة، جذراها: مكعب ألفا ناقص بيتا، ومكعب بيتا ناقص ألفا.
كيف تحلّه؟
تحتاج مجموع الجذرين الجديدين وحاصل ضربهما. المجموع هو مجموع المكعبين من الجزء الثاني ناقص مجموع الجذرين. لحاصل الضرب فكّ القوسين: يظهر مكعب حاصل الضرب، ومجموع القوتين الرابعتين بإشارة سالبة، وحاصل الضرب نفسه. احسب مجموع المربعين أولًا ثم القوتين الرابعتين بمتطابقة الجزء الثالث. المعادلة: مربع السين ناقص المجموع في السين زائد حاصل الضرب يساوي صفرًا، ثم اضرب في المقام المشترك. الفخ: الخطأ في إشارات فك القوسين.
- 1α² + β² = (α + β)² − 2αβ = 9/4 − 6 = −15/4
- 2Sum = α³ + β³ − (α + β) = 81/8 + 3/2 = 93/8
- 3α⁴ + β⁴ = (−15/4)² − 2(9) = −63/16
- 4Product = (αβ)³ − (α⁴ + β⁴) + αβ = 27 + 63/16 + 3 = 543/16
- 5x² − (93/8)x + 543/16 = 0
- 616x² − 186x + 543 = 0
Answer16x² − 186x + 543 = 0
تحتاج إلى الشرح من البداية؟ درس جذرا α و β للمعادلة التربيعية بالعربي
تدرّب على أسئلة جذرا α و β للمعادلة التربيعية
حلّ بنفسك، وصحّح كما في الامتحان، واعرف أين ضاعت الدرجة بالضبط.
تدرّب مجاناً على Lemmara