حل السؤال 6، 4PM1/02R يناير 2020: معدلات التغير المرتبطة والتغيرات الصغيرة
Pearson Edexcel International GCSE Further Pure Mathematics 4PM1 · Paper 2R · بالآلة الحاسبة · 6 درجات
الشرح بالعربية، والحل بالإنجليزية كما يُكتب في ورقة الامتحان. للصيغة الأصلية للسؤال والرسم ارجع إلى ورقة الامتحان الرسمية.
الجزء (a) · درجتان
ماذا يطلب السؤال؟
مخروط مقلوب رأسه إلى الأسفل وزاويته الرأسية ستون درجة، وفيه سائل ارتفاعه فوق الرأس مجهول. «بيّن أن» حجم السائل يساوي تُسع باي في مكعب الارتفاع.
كيف تحلّه؟
محور المخروط ينصّف الزاوية الرأسية، فيتكوّن مثلث قائم زاويته نصف الزاوية الرأسية. نصف قطر سطح السائل هو الارتفاع في ظل تلك الزاوية. عوّض به في قانون حجم المخروط: ثلث باي في مربع نصف القطر في الارتفاع، ثم بسّط. الفخ: استخدام الزاوية الرأسية كلها بدل نصفها.
- 1Half the vertical angle is 30°, so r = h tan 30° = h/√3
- 2V = ⅓πr²h = ⅓π(h²/3)h
- 3V = (1/9)πh³
AnswerV = (1/9)πh³ shown
الجزء (b) · 4 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
السائل يتسرب من ثقب عند الرأس بمعدل ثابت معلوم بالسنتيمتر المكعب في الثانية. المطلوب معدل نقصان ارتفاع السائل عندما يكون الارتفاع واحدًا فاصلة اثنين سنتيمتر، لثلاثة أرقام معنوية.
كيف تحلّه؟
اشتق الحجم من الجزء الأول بالنسبة للارتفاع. ثم استخدم قاعدة السلسلة: معدل تغير الارتفاع يساوي معدل تغير الحجم مقسومًا على مشتقة الحجم بالنسبة للارتفاع. عوّض بالارتفاع المعطى. السؤال يطلب معدل «النقصان» فاكتب القيمة موجبة مع ذكر أنه نقصان. الفخ: التعويض بالارتفاع قبل الاشتقاق.
- 1dV/dh = (1/3)πh²
- 2dh/dt = dh/dV × dV/dt = (3/(πh²)) × 0.9
- 3h = 1.2: dh/dt = 2.7/(π × 1.44) = 0.5968…
- 4Height decreasing at 0.597 cm/s
Answer0.597 cm/s
تحتاج إلى الشرح من البداية؟ درس معدلات التغير المرتبطة والتغيرات الصغيرة بالعربي
تدرّب على أسئلة معدلات التغير المرتبطة والتغيرات الصغيرة
حلّ بنفسك، وصحّح كما في الامتحان، واعرف أين ضاعت الدرجة بالضبط.
تدرّب مجاناً على Lemmara