حل السؤال 4، 4PM1/02R يناير 2020: حجم الهرم
Pearson Edexcel International GCSE Further Pure Mathematics 4PM1 · Paper 2R · بالآلة الحاسبة · 9 درجات
الشرح بالعربية، والحل بالإنجليزية كما يُكتب في ورقة الامتحان. للصيغة الأصلية للسؤال والرسم ارجع إلى ورقة الامتحان الرسمية.
الجزء (a) · 3 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
هرم ثلاثي قاعدته مثلث متساوي الأضلاع طول ضلعه ثمانية سنتيمترات، وحرفه الرأسي عمودي على القاعدة عند أحد رؤوسها وطوله مجهول. حجمه معطى بدلالة جذر ثلاثة. «بيّن أن» الارتفاع يساوي تسعة.
كيف تحلّه؟
مساحة القاعدة نصف حاصل ضرب ضلعين في جيب ستين درجة، فتظهر بدلالة جذر ثلاثة. حجم الهرم ثلث مساحة القاعدة في الارتفاع. ساوِ ذلك بالحجم المعطى فيُختصر جذر ثلاثة، ثم اقسم لتصل إلى الارتفاع المطلوب. الفخ: نسيان الثلث في قانون حجم الهرم.
- 1Base area = ½ × 8 × 8 × sin 60° = 16√3
- 2Volume = ⅓ × 16√3 × h = 48√3
- 3h = 9
Answerh = 9 shown
الجزء (b) · 3 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
المطلوب قياس الزاوية عند قمة الهرم بين الحرفين النازلين إلى رأسي القاعدة الآخرين، بالدرجات لمنزلة عشرية واحدة.
كيف تحلّه؟
كل من الحرفين وتر في مثلث قائم ضلعاه الارتفاع وضلع القاعدة، فاحسب طوله بنظرية فيثاغورس؛ والحرفان متساويان. صار لديك مثلث أضلاعه الثلاثة معلومة: الحرفان وضلع القاعدة المقابل للزاوية. طبّق قانون جيب التمام لإيجاد الزاوية. الفخ: وضع الضلع المقابل في غير مكانه في القانون.
- 1BX = CX = √(9² + 8²) = √145
- 2cos BXC = (145 + 145 − 64)/(2 × 145) = 226/290
- 3∠BXC = 38.80… = 38.8°
Answer38.8°
الجزء (c) · 3 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
المطلوب الزاوية بين الوجه المائل المار بقمة الهرم وبضلع القاعدة البعيد عن الرأس الذي تحت القمة، وبين مستوى القاعدة، بالدرجات لمنزلة عشرية واحدة.
كيف تحلّه؟
خذ منتصف ضلع القاعدة المشترك بين المستويين. الخط من الرأس الذي تحت القمة إلى هذا المنتصف عمودي على الضلع لأن المثلث متساوي الأضلاع، والخط من القمة إلى المنتصف عمودي عليه كذلك. الزاوية المطلوبة بين هذين الخطين. احسب طول الأول بفيثاغورس، ثم استخدم الظل: الارتفاع على هذا الطول. الفخ: أخذ الزاوية عند أحد رأسي الضلع بدل المنتصف.
- 1Let M be the midpoint of BC; AM = √(8² − 4²) = 4√3
- 2The angle is ∠XMA, with tan XMA = 9/(4√3)
- 3∠XMA = 52.41… = 52.4°
Answer52.4°
تحتاج إلى الشرح من البداية؟ درس حجم الهرم بالعربي
تدرّب على أسئلة حجم الهرم
حلّ بنفسك، وصحّح كما في الامتحان، واعرف أين ضاعت الدرجة بالضبط.
تدرّب مجاناً على Lemmara