حل السؤال 7، 4PM1/02R يناير 2020: حل المعادلات الأسية واللوغاريتمية
Pearson Edexcel International GCSE Further Pure Mathematics 4PM1 · Paper 2R · بالآلة الحاسبة · 13 درجة
الشرح بالعربية، والحل بالإنجليزية كما يُكتب في ورقة الامتحان. للصيغة الأصلية للسؤال ارجع إلى ورقة الامتحان الرسمية.
الجزء (a) · 3 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
متتالية هندسية حدها الأول ونسبتها مجهولان. الحد الرابع والحد السابع معطيان على صورة العدد النيبيري هـ مرفوعًا لأسّين بدلالة السين. «بيّن أن» النسبة هي هـ مرفوعًا لسالب نصف.
كيف تحلّه؟
الحد السابع على الحد الرابع يساوي مكعب النسبة، لأن الحد الأول يُختصر. عند قسمة قوتين لهما الأساس نفسه نطرح الأسين، فتختفي السين ويبقى عدد. ثم خذ الجذر التكعيبي بقسمة الأس على ثلاثة. الفخ: قسمة الأسين بدل طرحهما.
- 1u₇/u₄ = r³ = e^((2x+1)/2) / e^(x+2)
- 2r³ = e^(x + 1/2 − x − 2) = e^(−3/2)
- 3r = e^(−1/2)
Answerr = e^(−1/2) shown
الجزء (b) · 3 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
«ومن ثمّ» استخدم النسبة التي أثبتّها في الجزء السابق، والحد الرابع المعطى، لإيجاد الحد الأول للمتتالية بدلالة العدد النيبيري هـ والسين.
كيف تحلّه؟
الحد الرابع يساوي الحد الأول في مكعب النسبة. اقسم الحد الرابع على مكعب النسبة: القسمة على قوة أسّها سالب تعني جمع ذلك الأس بعد قلب إشارته. اكتب الجواب قوة واحدة للعدد هـ. الفخ: القسمة على النسبة نفسها بدل مكعبها.
- 1u₄ = ar³, so a = e^(x+2)/e^(−3/2)
- 2a = e^(x + 2 + 3/2) = e^(x + 7/2)
Answera = e^(x + 7/2)
الجزء (c) · 3 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
مجموع المتتالية إلى ما لا نهاية يمكن كتابته على صورة هـ مرفوعًا لأس مجهول، مقسومًا على (هـ مرفوعًا لنصف ناقص واحد). المطلوب هذا الأس بدلالة السين.
كيف تحلّه؟
مجموع ما لا نهاية هو الحد الأول على (واحد ناقص النسبة). لتصل للمقام المطلوب اضرب البسط والمقام في هـ مرفوعًا لنصف: المقام يصبح بالصورة المعطاة، والبسط يزيد أسّه نصفًا. قارن البسط بالصورة لتقرأ الأس. الفخ: ضرب المقام وحده دون البسط.
- 1S = a/(1 − r) = e^(x + 7/2)/(1 − e^(−1/2))
- 2Multiply top and bottom by e^(1/2): S = e^(x + 4)/(e^(1/2) − 1)
- 3p = x + 4
Answerp = x + 4
الجزء (d) · 4 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
الحد الثامن عشر أكبر من واحد فاصلة ستة، والسين عدد صحيح. المطلوب أصغر قيمة ممكنة للسين.
كيف تحلّه؟
الحد الثامن عشر هو الحد الأول في النسبة مرفوعة للقوة السابعة عشرة. اجمع الأسس لتكتبه قوة واحدة للعدد هـ. كوّن المتباينة، ثم خذ اللوغاريتم الطبيعي للطرفين فينزل الأس. حلّ المتباينة الخطية، ثم اختر أصغر عدد صحيح يحققها. الفخ: تقريب الناتج للأقرب بدل أخذ العدد الصحيح الأكبر منه.
- 1u₁₈ = ar¹⁷ = e^(x + 7/2) × e^(−17/2) = e^(x − 5)
- 2e^(x − 5) > 1.6
- 3x − 5 > ln 1.6, so x > 5.470…
- 4Least integer x = 6
Answerx = 6
تحتاج إلى الشرح من البداية؟ درس حل المعادلات الأسية واللوغاريتمية بالعربي
تدرّب على أسئلة حل المعادلات الأسية واللوغاريتمية
حلّ بنفسك، وصحّح كما في الامتحان، واعرف أين ضاعت الدرجة بالضبط.
تدرّب مجاناً على Lemmara