حل السؤال 5، 4PM1/01R يناير 2023: نظرية العامل ونظرية الباقي
Pearson Edexcel International GCSE Further Pure Mathematics 4PM1 · Paper 1R · بالآلة الحاسبة · 12 درجة
الشرح بالعربية، والحل بالإنجليزية كما يُكتب في ورقة الامتحان. للصيغة الأصلية للسؤال ارجع إلى ورقة الامتحان الرسمية.
الجزء (a) · 5 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
كثيرة حدود تكعيبية فيها ثابتان صحيحان مجهولان، والقوسان (السين زائد اثنين) و(السين ناقص واحد) عاملان لها. «بيّن أن» الثابت الأول اثنان، وأوجد الثابت الثاني.
كيف تحلّه؟
بنظرية العوامل: كثيرة الحدود تساوي صفرًا عند جذر كل عامل، أي عند سالب اثنين وعند واحد. عوّض بكل قيمة فتحصل على معادلتين في الثابتين. اجعل الثابت الثاني موضوع القانون من المعادلة الأبسط وعوّض في الأخرى. الفخ: الخطأ في إشارة مكعب سالب اثنين.
- 1f(−2) = −16a + 4 + 2b + 3a = 0 → −13a + 4 + 2b = 0
- 2f(1) = 2a + 1 − b + 3a = 0 → 5a + 1 − b = 0
- 3From the second: b = 5a + 1; substitute: −13a + 4 + 10a + 2 = 0
- 4a = 2
- 5b = 11
Answera = 2 shown, b = 11
الجزء (b) · درجتان
ماذا يطلب السؤال؟
«ومن ثمّ» بعد معرفة الثابتين، المطلوب تحليل كثيرة الحدود تحليلًا كاملًا إلى حاصل ضرب ثلاثة عوامل خطية.
كيف تحلّه؟
اكتب كثيرة الحدود بالثابتين. حاصل ضرب العاملين المعروفين مقدار تربيعي؛ اقسم عليه أو قارن المعاملات لتجد العامل الخطي الثالث: حده الأول من معامل مكعب السين، وثابته من الحد الثابت. الفخ: نسيان كتابة العوامل الثلاثة معًا في الجواب.
- 1f(x) = 4x³ + x² − 11x + 6
- 2Divide by (x + 2)(x − 1) = x² + x − 2: quotient 4x − 3
- 3f(x) = (4x − 3)(x + 2)(x − 1)
Answerf(x) = (4x − 3)(x + 2)(x − 1)
الجزء (c) · 5 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
دالة في الصاد مكونة من قوى العدد اثنين، أولها اثنان مرفوعًا لـ (ثلاثة أمثال الصاد زائد اثنين). المطلوب حل المعادلة: الدالة تساوي صفرًا، لثلاث منازل عشرية عند الحاجة.
كيف تحلّه؟
اكتب كل حد بدلالة اثنين مرفوعًا للصاد: الحد الأول أربعة في مكعبه، والثاني مربعه. فتصبح الدالة كثيرة الحدود نفسها مع اثنين مرفوعًا للصاد مكان السين. استخدم التحليل من الجزء السابق واجعل كل عامل صفرًا. اثنان مرفوعًا لأي قوة موجب دائمًا، فارفض القيمة السالبة، وللقيم الأخرى خذ اللوغاريتم للأساس اثنين. الفخ: عدم رفض القيمة المستحيلة.
- 1h(y) = 4(2^y)³ + (2^y)² − 11(2^y) + 6 = f(2^y)
- 2(2^y + 2)(2^y − 1)(4(2^y) − 3) = 0
- 32^y = 1 → y = 0
- 42^y = 3/4 → y = log₂(3/4) = −0.415
- 52^y = −2 has no solution
Answery = 0, y = −0.415
تحتاج إلى الشرح من البداية؟ درس نظرية العامل ونظرية الباقي بالعربي
تدرّب على أسئلة نظرية العامل ونظرية الباقي
حلّ بنفسك، وصحّح كما في الامتحان، واعرف أين ضاعت الدرجة بالضبط.
تدرّب مجاناً على Lemmara