حل السؤال 8، 4PM1/02R يناير 2020: حل المعادلات المثلثية
Pearson Edexcel International GCSE Further Pure Mathematics 4PM1 · Paper 2R · بالآلة الحاسبة · 10 درجات
الشرح بالعربية، والحل بالإنجليزية كما يُكتب في ورقة الامتحان. للصيغة الأصلية للسؤال ارجع إلى ورقة الامتحان الرسمية.
الجزء (a) · درجة واحدة
ماذا يطلب السؤال؟
«اكتب» قيمة الثابت الذي يجعل جيب ضعف الزاوية يساوي هذا الثابت في جيب الزاوية في جيب تمامها. لا يحتاج حسابًا، بل تذكّر متطابقة ضعف الزاوية.
كيف تحلّه؟
هذه متطابقة جيب ضعف الزاوية المعروفة. تذكّرها، أو اشتقها من قانون جيب مجموع زاويتين بجعل الزاويتين متساويتين: يظهر حاصل ضرب الجيب في جيب التمام مكرّرًا، فتجمعهما.
- 1sin 2A = 2 sin A cos A, so k = 2
Answerk = 2
الجزء (b) · 3 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
دالة مثلثية فيها جيب وجيب تمام وجيب ضعف الزاوية ومربع جيب التمام. يمكن كتابتها حاصل ضرب قوسين فيهما ثلاثة أعداد صحيحة مجهولة. المطلوب إيجاد هذه الأعداد.
كيف تحلّه؟
حوّل كل شيء إلى جيب وجيب تمام للزاوية نفسها: اجمع العدد الثابت مع حد مربع جيب التمام لتحصل على ضعف مربع الجيب، واكتب جيب ضعف الزاوية بالمتطابقة. تبقى أربعة حدود؛ جمّعها زوجين: زوج فيه جيب التمام وزوج فيه الجيب، وأخرج من كل زوج عاملًا فيظهر قوس مشترك. قارن بالصورة المعطاة. الفخ: الخطأ في إشارة الحد المأخوذ عاملًا مشتركًا.
- 12 − 2cos²A = 2 sin²A and 3 sin 2A = 6 sin A cos A
- 2g(A) = 3cos A − sin A − 6 sin A cos A + 2 sin²A
- 3= 3cos A(1 − 2 sin A) − sin A(1 − 2 sin A)
- 4= (3cos A − sin A)(1 − 2 sin A)
- 5p = 3, q = 1, r = 2
Answerp = 3, q = 1, r = 2
الجزء (c) · 6 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
«ومن ثمّ» حلّ المعادلة: الدالة عند ضعف ثيتا تساوي صفرًا، لقيم ثيتا من الصفر حتى أقل من باي، بالراديان مقرّبًا لثلاثة أرقام معنوية عند الحاجة.
كيف تحلّه؟
استخدم التحليل من الجزء السابق مع ضعف ثيتا مكان الزاوية، واجعل كل قوس يساوي صفرًا. بما أن ثيتا أقل من باي فضعفها أقل من ضعف باي، فابحث عن كل الحلول في هذا المدى ثم اقسم على اثنين. القوس الأول يعطي ظلًا يساوي عددًا، والثاني جيبًا يساوي عددًا. الفخ: الاكتفاء بحل واحد لكل معادلة ونسيان الحلول الأخرى في الدورة الكاملة.
- 1(3cos 2θ − sin 2θ)(1 − 2 sin 2θ) = 0, with 0 ≤ 2θ < 2π
- 2tan 2θ = 3: 2θ = 1.2490, 4.3906, so θ = 0.625, 2.20
- 3sin 2θ = 1/2: 2θ = π/6, 5π/6, so θ = π/12, 5π/12
- 4θ = 0.262, 1.31
Answerθ = 0.625, 2.20, π/12 (0.262), 5π/12 (1.31)
تحتاج إلى الشرح من البداية؟ درس حل المعادلات المثلثية بالعربي
تدرّب على أسئلة حل المعادلات المثلثية
حلّ بنفسك، وصحّح كما في الامتحان، واعرف أين ضاعت الدرجة بالضبط.
تدرّب مجاناً على Lemmara