حل السؤال 6، 4PM1/01 يناير 2022: قانون الجيب
Pearson Edexcel International GCSE Further Pure Mathematics 4PM1 · Paper 1 · بالآلة الحاسبة · 10 درجات
الشرح بالعربية، والحل بالإنجليزية كما يُكتب في ورقة الامتحان. للصيغة الأصلية للسؤال ارجع إلى ورقة الامتحان الرسمية.
الجزء (a) · 5 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
مثلث معلوم فيه ضلعان بدلالة السين وزاوية ثلاثين درجة، والزاوية ثيتا حادة. المطلوب «بيّن أن» جيب ثيتا وجيب تمامها يساويان العبارتين المعطاتين.
كيف تحلّه؟
الزاوية ثيتا تقابل الضلع (السين زائد ثلاثة)، والثلاثون تقابل الضلع الآخر، فاستخدم قاعدة الجيب، وجيب ثلاثين نصف. لجيب التمام استخدم المتطابقة: مربع جيب التمام يساوي واحدًا ناقص مربع الجيب. وحّد المقامات وفك مربع البسط، ثم خذ الجذر الموجب لأن الزاوية حادة. الفخ: الخطأ في فك مربع (السين زائد ثلاثة).
- 1Sine rule: sin 30°/x = sin θ°/(x + 3)
- 2sin θ° = (x + 3)/(2x)
- 3cos²θ° = 1 − (x + 3)²/(4x²) = (4x² − (x² + 6x + 9))/(4x²)
- 4= (3x² − 6x − 9)/(4x²)
- 5θ is acute, so cos θ° = √(3x² − 6x − 9)/(2x)
Answersin θ° = (x + 3)/(2x) and cos θ° = √(3x² − 6x − 9)/(2x) shown
الجزء (b) · 5 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
معطاة النسبة بين زاويتين في المثلث. المطلوب القيمة الدقيقة للسين على صورة عدد أولي مضافًا إليه العدد نفسه مضروبًا في جذر عدد أولي.
كيف تحلّه؟
من النسبة والزاوية المعلومة احسب الزاوية الأخرى، ثم مجموع زوايا المثلث يعطيك ثيتا. عوّض بالقيمة الدقيقة لجيب تمام ثيتا في عبارة الجزء السابق، وربّع الطرفين لتصل إلى معادلة تربيعية. حلّها بإكمال المربع، وارفض الحل السالب لأن الطول موجب. الفخ: الخطأ في قراءة النسبة: أي زاوية تقابل أي عدد.
- 1∠BAC/30° = 7/2, so ∠BAC = 105°
- 2θ = 180 − 30 − 105 = 45
- 3cos 45° = √2/2 = √(3x² − 6x − 9)/(2x)
- 42x² = 3x² − 6x − 9, so x² − 6x − 9 = 0
- 5(x − 3)² = 18, x = 3 + 3√2 (positive root)
Answerx = 3 + 3√2
تحتاج إلى الشرح من البداية؟ درس قانون الجيب بالعربي
تدرّب على أسئلة قانون الجيب
حلّ بنفسك، وصحّح كما في الامتحان، واعرف أين ضاعت الدرجة بالضبط.
تدرّب مجاناً على Lemmara