حل السؤال 9، 4PM1/01 يونيو 2020: قانون جيب التمام
Pearson Edexcel International GCSE Further Pure Mathematics 4PM1 · Paper 1 · بالآلة الحاسبة · 12 درجة
الشرح بالعربية، والحل بالإنجليزية كما يُكتب في ورقة الامتحان. للصيغة الأصلية للسؤال والرسم ارجع إلى ورقة الامتحان الرسمية.
الجزء (a) · درجتان
ماذا يطلب السؤال؟
مثلث أطوال ضلعين منه معلومة والثالث ضعف المجهول، ونقطة في منتصف الضلع الثالث تبعد عن الرأس المقابل مسافة معلومة (انظر الشكل). المطلوب «بيّن أن» جيب تمام الزاوية عند المنتصف في المثلث الأيسر يساوي الكسر المعطى.
كيف تحلّه؟
في المثلث الصغير الأيسر الأضلاع الثلاثة معلومة: نصف الضلع هو المجهول، والخط من الرأس، والضلع الأطول. استخدم قانون جيب التمام بصيغة الزاوية، والضلع المقابل للزاوية هو الضلع الأطول.
- 1In triangle ABD: AD = x, BD = 6, AB = 12
- 2cos ADB = (6² + x² − 12²)/(2 × 6 × x)
- 3= (x² − 108)/(12x)
Answercos ADB = (x² − 108)/(12x) shown
الجزء (b) · 4 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
«ومن ثمّ أو بطريقة أخرى» المطلوب «بيّن أن» طول الضلع الذي منتصفه النقطة المحددة يساوي القيمة المعطاة في السؤال.
كيف تحلّه؟
اكتب جيب تمام الزاوية المجاورة في المثلث الأيمن بقانون جيب التمام. الزاويتان عند المنتصف على خط مستقيم فمجموعهما مئة وثمانون، لذا جيب تمام إحداهما سالب جيب تمام الأخرى. ساوِ وحلّ لإيجاد المجهول ثم ضاعفه.
- 1In triangle BDC: cos BDC = (6² + x² − 6²)/(2 × 6x) = x²/(12x)
- 2∠ADB = 180° − ∠BDC ⇒ cos ADB = −cos BDC
- 3(x² − 108)/(12x) = −x²/(12x)
- 42x² = 108 ⇒ x = 3√6
- 5AC = 2x = 6√6 cm
AnswerAC = 6√6 cm shown
الجزء (c) · 4 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
الزاويتان عند الرأس، ثيتا وفاي، معلّمتان على الشكل. المطلوب «بيّن أن» جيب مجموعهما يساوي جيب فاي.
كيف تحلّه؟
استخدم قانون الجيب في المثلث الكبير مع الزاوية الكاملة عند الرأس وزاوية الركن الأيمن، ثم في المثلث الأيمن الصغير مع فاي والزاوية نفسها عند الركن. عبّر في الحالتين عن الجيب بدلالة جيب زاوية الركن، فتجد التعبيرين متساويين.
- 1Sine rule in triangle ABC: sin(θ° + φ°)/(2x) = sin BCD/12 ⇒ sin(θ° + φ°) = x sin BCD/6
- 2Sine rule in triangle BDC: sin φ°/x = sin BCD/6 ⇒ sin φ° = x sin BCD/6
- 3Therefore sin(θ° + φ°) = sin φ°
Answersin(θ° + φ°) = sin φ° shown
الجزء (d) · درجتان
ماذا يطلب السؤال؟
«ومن ثمّ» تعني استخدم نتيجة الجزء السابق. المطلوب «بيّن أن» ثيتا تساوي مئة وثمانين ناقص ضعف فاي.
كيف تحلّه؟
زاويتان جيبهما متساوٍ إما متساويتان وإما مجموعهما مئة وثمانون. التساوي مستحيل لأن ثيتا لا تساوي صفرًا، فيبقى الخيار الثاني، ثم اعزل ثيتا.
- 1sin(θ + φ)° = sin φ° and θ ≠ 0, so θ + φ ≠ φ
- 2Hence θ + φ = 180 − φ
- 3θ = 180 − 2φ
Answerθ = 180 − 2φ shown
تحتاج إلى الشرح من البداية؟ درس قانون جيب التمام بالعربي
تدرّب على أسئلة قانون جيب التمام
حلّ بنفسك، وصحّح كما في الامتحان، واعرف أين ضاعت الدرجة بالضبط.
تدرّب مجاناً على Lemmara