حل السؤال 8، 4PM1/01 يناير 2022: المماسات والأعمدة والنقاط الثابتة (متقدم)
Pearson Edexcel International GCSE Further Pure Mathematics 4PM1 · Paper 1 · بالآلة الحاسبة · 10 درجات
الشرح بالعربية، والحل بالإنجليزية كما يُكتب في ورقة الامتحان. للصيغة الأصلية للسؤال والرسم ارجع إلى ورقة الامتحان الرسمية.
الجزء (a) · 3 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
أسطوانة قائمة مصمتة، نصف قطرها وارتفاعها مجهولان، وحجمها معلوم بدلالة باي. المطلوب «بيّن أن» مساحة سطحها الكلية تساوي العبارة المعطاة بدلالة نصف القطر.
كيف تحلّه؟
من قانون الحجم اجعل الارتفاع موضوع القانون بدلالة نصف القطر. المساحة الكلية: قاعدتان دائريتان مضافًا إليهما السطح الجانبي (محيط القاعدة في الارتفاع). عوّض عن الارتفاع وبسّط حتى تصل إلى العبارة المعطاة. الفخ: نسيان إحدى القاعدتين.
- 1πr²h = 90π, so h = 90/r²
- 2S = 2πr² + 2πrh
- 3S = 2πr² + 2πr × 90/r² = 2πr² + 180π/r
AnswerS = 2πr² + 180π/r shown
الجزء (b) · 5 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
إذا تغيّر نصف القطر، المطلوب بالتفاضل قيمته التي تجعل المساحة أصغر ما يمكن لثلاثة أرقام معنوية، مع تبرير أنها صغرى.
كيف تحلّه؟
اكتب الحد الثاني بأس سالب واشتق. ساوِ المشتقة بالصفر لتصل إلى أن مكعب نصف القطر يساوي عددًا، فخذ الجذر التكعيبي. للتبرير احسب المشتقة الثانية وبيّن أنها موجبة عند هذه القيمة. الفخ: إهمال التبرير، أو الخطأ في إشارة مشتقة الحد ذي الأس السالب.
- 1dS/dr = 4πr − 180π/r²
- 24πr − 180π/r² = 0 gives r³ = 45
- 3r = ∛45 = 3.5568… = 3.56
- 4d²S/dr² = 4π + 360π/r³ = 37.7 > 0, so S is a minimum
Answerr = 3.56; d²S/dr² > 0 so minimum
الجزء (c) · درجتان
ماذا يطلب السؤال؟
بعد إيجاد نصف القطر الذي يجعل مساحة سطح الأسطوانة أصغر ما يمكن، المطلوب القيمة الصغرى للمساحة لثلاثة أرقام معنوية.
كيف تحلّه؟
عوّض بنصف القطر من الجزء السابق في عبارة المساحة نفسها، مستخدمًا القيمة الكاملة من الآلة الحاسبة. الفخ: التعويض بالقيمة المقرّبة فيختلف الناتج، أو التعويض في المشتقة.
- 1S = 2π(3.5568…)² + 180π/3.5568…
- 2= 238.47… = 238 cm²
AnswerS = 238 cm²
تحتاج إلى الشرح من البداية؟ درس المماسات والأعمدة والنقاط الثابتة (متقدم) بالعربي
تدرّب على أسئلة المماسات والأعمدة والنقاط الثابتة (متقدم)
حلّ بنفسك، وصحّح كما في الامتحان، واعرف أين ضاعت الدرجة بالضبط.
تدرّب مجاناً على Lemmara