حل السؤال 7، 4PM1/02 يناير 2022: جذرا α و β للمعادلة التربيعية
Pearson Edexcel International GCSE Further Pure Mathematics 4PM1 · Paper 2 · بالآلة الحاسبة · 13 درجة
الشرح بالعربية، والحل بالإنجليزية كما يُكتب في ورقة الامتحان. للصيغة الأصلية للسؤال ارجع إلى ورقة الامتحان الرسمية.
الجزء (a) · 9 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
دالتان تربيعيتان: جذرا الأولى ألفا وبيتا، وجذرا الثانية ألفا على بيتا وبيتا على ألفا. في الأولى ثابتان صحيحان مجهولان مجموعهما معلوم، والأول منهما موجب. المطلوب قيمتا الثابتين دون حل المعادلة الثانية.
كيف تحلّه؟
من الأولى: مجموع الجذرين سالب معامل السين على معامل مربعها، وحاصل الضرب الحد الثابت على معامل مربعها. من الثانية: مجموع الجذرين الجديدين يُقرأ من معاملاتها. اكتب مجموع الكسرين بتوحيد المقامات: مربع المجموع ناقص ضعف الضرب، على الضرب. عوّض عن الثابت الثاني من شرط المجموع، فتصل إلى معادلة تربيعية في الأول، وخذ الحل الموجب. الفخ: الخطأ في إشارة مجموع الجذرين.
- 1α + β = −p/2, αβ = q/2
- 2α/β + β/α = −37/14
- 3α/β + β/α = ((α + β)² − 2αβ)/(αβ) = (p²/4 − q)/(q/2) = (p² − 4q)/(2q)
- 4Use q = −p − 4: (p² + 4p + 16)/(2(−p − 4)) = −37/14
- 57p² − 9p − 36 = 0
- 6(7p + 12)(p − 3) = 0, p > 0 so p = 3
- 7q = −4 − 3 = −7
Answerp = 3, q = −7
الجزء (b) · 4 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
مع أن ألفا أكبر من بيتا، المطلوب «بيّن أن» الفرق بين مربعيهما يساوي العبارة السالبة المعطاة بالجذر.
كيف تحلّه؟
حلّل الفرق بين المربعين: الفرق مضروبًا في المجموع، والمجموع معروف. لإيجاد الفرق استخدم: مربع الفرق يساوي مربع المجموع ناقص أربعة أمثال الضرب، ثم خذ الجذر الموجب لأن ألفا أكبر. اضرب لتصل إلى العبارة المعطاة. الفخ: أخذ الجذر بالإشارة الخطأ.
- 1α² − β² = (α − β)(α + β)
- 2(α − β)² = (α + β)² − 4αβ = 9/4 + 14 = 65/4
- 3α > β so α − β = √65/2
- 4α² − β² = (√65/2)(−3/2) = −3√65/4
Answerα² − β² = −3√65/4 shown
تحتاج إلى الشرح من البداية؟ درس جذرا α و β للمعادلة التربيعية بالعربي
تدرّب على أسئلة جذرا α و β للمعادلة التربيعية
حلّ بنفسك، وصحّح كما في الامتحان، واعرف أين ضاعت الدرجة بالضبط.
تدرّب مجاناً على Lemmara