حل السؤال 8، 4PM1/02 يناير 2022: حل المعادلات بالطرق البيانية
Pearson Edexcel International GCSE Further Pure Mathematics 4PM1 · Paper 2 · بالآلة الحاسبة · 11 درجة
الشرح بالعربية، والحل بالإنجليزية كما يُكتب في ورقة الامتحان. للصيغة الأصلية للسؤال ارجع إلى ورقة الامتحان الرسمية.
الجزء (a) · درجتان
ماذا يطلب السؤال؟
المطلوب إكمال جدول قيم لدالة فيها جيب السين وجيب تمام ضعف السين، والسين بالراديان، مع تقريب كل قيمة لمنزلة عشرية واحدة.
كيف تحلّه؟
ضع الآلة الحاسبة على الراديان، وعوّض بكل قيمة ناقصة للسين في الدالة. احسب جيب تمام ضعف السين، لا ضعف جيب تمامها. قرّب كل ناتج لمنزلة عشرية واحدة. الفخ: ترك الآلة على الدرجات، فتخرج كل القيم خاطئة.
- 1Substitute each x (in radians) into y = sin x − 3 cos 2x − 0.5
- 2x = 0: 0 − 3 − 0.5 = −3.5
- 3x = 0.5: −1.64… → −1.6
- 4x = 1.6: 3.49… → 3.5
- 5x = 2: 2.37… → 2.4
Answerx = 0: y = −3.5; x = 0.5: y = −1.6; x = 1.6: y = 3.5; x = 2: y = 2.4
الجزء (b) · درجتان
ماذا يطلب السؤال؟
المطلوب رسم منحنى الدالة نفسها على الشبكة المعطاة، في المدى من الصفر حتى ثلاثة، مستعينًا بالجدول بعد إكماله.
كيف تحلّه؟
عيّن كل النقاط من الجدول بعد إكماله، وصلها بمنحنى أملس لا بقطع مستقيمة. انتبه لشكل القمة بين النقاط فلا تجعلها مدببة. الفخ: إهمال النقاط المعطاة أصلًا في الجدول.
- 1Plot the eight points from the table
- 2Join them with a smooth curve
AnswerPoints from the completed table plotted and joined with a smooth curve rising from (0, −3.5) to a maximum of about 3.5 near x = 1.6, then falling to (3, −3.2)
الجزء (c) · درجتان
ماذا يطلب السؤال؟
المطلوب باستخدام قانون من صفحة القوانين «بيّن أن» جيب تمام ضعف الزاوية يساوي واحدًا ناقص ضعف مربع جيبها.
كيف تحلّه؟
ابدأ من قانون جيب تمام المجموع، واجعل الزاويتين متساويتين، فتحصل على مربع جيب التمام ناقص مربع الجيب. ثم استبدل مربع جيب التمام بواحد ناقص مربع الجيب، واجمع الحدين المتشابهين. الفخ: البدء من النتيجة المطلوبة بدل القانون المعطى.
- 1cos(A + B) = cos A cos B − sin A sin B
- 2Put B = A: cos 2A = cos²A − sin²A
- 3cos²A = 1 − sin²A
- 4cos 2A = 1 − sin²A − sin²A = 1 − 2 sin²A
Answercos 2A = 1 − 2 sin²A shown
الجزء (d) · 5 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
دالة جديدة فيها جيب السين ومربع الجيب والسين. المطلوب برسم خط مستقيم مناسب على الشبكة تقدير جذور المعادلة التي تجعلها صفرًا، لمنزلة عشرية واحدة.
كيف تحلّه؟
استخدم متطابقة الجزء السابق لتكتب مربع الجيب بدلالة جيب تمام ضعف السين. ثم رتّب المعادلة حتى يصبح أحد طرفيها هو الدالة المرسومة تمامًا، فيكون الطرف الآخر معادلة خط مستقيم. ارسم هذا الخط، والجذور هي الإحداثيات السينية لنقاط تقاطعه مع المنحنى. الفخ: خطأ في القسمة أو النقل يعطيك خطًا مختلفًا.
- 112 sin²x = 6(1 − cos 2x)
- 2f(x) = 0: 2 sin x + 6 − 6 cos 2x − x − 5 = 0
- 3Divide by 2: sin x − 3 cos 2x − 0.5 = x/2 − 1
- 4Draw the line y = x/2 − 1 (through (0, −1) and (2, 0))
- 5Intersections with the curve: x ≈ 0.6 (or 0.7) and x ≈ 2.3 (or 2.4)
AnswerDraw y = x/2 − 1; x = 0.6 or 0.7 and x = 2.3 or 2.4
تحتاج إلى الشرح من البداية؟ درس حل المعادلات بالطرق البيانية بالعربي
تدرّب على أسئلة حل المعادلات بالطرق البيانية
حلّ بنفسك، وصحّح كما في الامتحان، واعرف أين ضاعت الدرجة بالضبط.
تدرّب مجاناً على Lemmara