حل السؤال 11، 4PM1/02R يناير 2022: الهندسة المتجهية
Pearson Edexcel International GCSE Further Pure Mathematics 4PM1 · Paper 2R · بالآلة الحاسبة · 13 درجة
الشرح بالعربية، والحل بالإنجليزية كما يُكتب في ورقة الامتحان. للصيغة الأصلية للسؤال والرسم ارجع إلى ورقة الامتحان الرسمية.
الجزء (a) · 9 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
مثلث رأسه نقطة الأصل، والمتجهان منها إلى الرأسين الآخرين «أ» و«ب». على الضلع الثاني نقطة تقسمه بنسبة اثنين إلى واحد، ومنتصف الجزء الباقي منه، ومنتصف الخط من الرأس الأول إلى نقطة التقسيم. الخطان المرسومان في الشكل يتقاطعان في نقطة. المطلوب «بطريقة المتجهات» المتجه من الأصل إليها.
كيف تحلّه؟
عبّر بدلالة «أ» و«ب» عن متجهي الخطين: من الرأس الأول إلى المنتصف على الضلع الثاني، ومن منتصف الخط الآخر إلى الرأس الثاني. اكتب متجه نقطة التقاطع بطريقتين: من الرأس الأول بجزء مجهول (لامدا) من الخط الأول، ومن الرأس الثاني بجزء مجهول (ميو) من الخط الثاني. ساوِ معاملات «أ» ثم معاملات «ب» لتحصل على معادلتين، حلّهما ثم عوّض. الفخ: الخطأ في كسور التقسيم على الضلع الثاني.
- 1AB = −a + b, AC = −a + (2/3)b, AM = −a + (5/6)b
- 2NB = −½AC + AB = −½a + (2/3)b
- 3OP = OA + λAM = (1 − λ)a + (5/6)λb
- 4OP = OB − μNB = (μ/2)a + (1 − 2μ/3)b
- 5Compare: 1 − λ = μ/2 and (5/6)λ = 1 − 2μ/3
- 6λ = 2/3, μ = 2/3
- 7OP = a + (2/3)(−a + (5/6)b) = (1/3)a + (5/9)b
AnswerOP = (1/3)a + (5/9)b
الجزء (b) · 4 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
نقطة جديدة هي منتصف الضلع بين الرأسين الأول والثاني. المطلوب «بطريقة المتجهات» إثبات أن نقطة التقسيم ونقطة التقاطع وهذه النقطة الجديدة على استقامة واحدة.
كيف تحلّه؟
أوجد متجهين يبدآن من نقطة التقسيم: أحدهما إلى نقطة التقاطع والآخر إلى المنتصف الجديد، بطرح متجه موقع البداية من متجه موقع النهاية. بيّن أن أحدهما مضاعف عددي للآخر. ثم اكتب الاستنتاج: متوازيان ويشتركان في نقطة، فالنقاط الثلاث على استقامة واحدة. الفخ: نسيان ذكر النقطة المشتركة.
- 1OC = (2/3)b, OQ = ½(a + b)
- 2CP = OP − OC = (1/3)a − (1/9)b
- 3CQ = OQ − OC = ½a − (1/6)b
- 4CQ = (3/2)CP
- 5CQ is a multiple of CP and they share point C, so C, P and Q are collinear
AnswerCP = (1/3)a − (1/9)b and CQ = (1/2)a − (1/6)b = (3/2)CP, so C, P and Q are collinear
تحتاج إلى الشرح من البداية؟ درس الهندسة المتجهية بالعربي
تدرّب على أسئلة الهندسة المتجهية
حلّ بنفسك، وصحّح كما في الامتحان، واعرف أين ضاعت الدرجة بالضبط.
تدرّب مجاناً على Lemmara