حل السؤال 10، 4PM1/02R يناير 2022: التكاملات المحددة والمساحات
Pearson Edexcel International GCSE Further Pure Mathematics 4PM1 · Paper 2R · بالآلة الحاسبة · 12 درجة
الشرح بالعربية، والحل بالإنجليزية كما يُكتب في ورقة الامتحان. للصيغة الأصلية للسؤال والرسم ارجع إلى ورقة الامتحان الرسمية.
الجزء (a) · 3 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
منحنيان: الصاد تساوي جيب السين زائد واحد، والصاد تساوي جيب تمام السين زائد واحد، يتقاطعان في نقطتين ظاهرتين في الشكل. المطلوب القيمة الدقيقة للإحداثي السيني لكل نقطة.
كيف تحلّه؟
ساوِ المعادلتين فيختفي الواحد ويبقى الجيب مساويًا لجيب التمام. اقسم على جيب التمام لتحصل على معادلة في الظل. أوجد الزاوية الأساسية بدلالة باي، ثم الحل التالي بإضافة باي لأن دورة الظل باي. استخدم الشكل لتعرف أي النقطتين أولًا. الفخ: كتابة الجواب بالدرجات أو بالكسر العشري بدل القيمة الدقيقة.
- 1sin x + 1 = cos x + 1
- 2tan x = 1
- 3x = π/4 (A), x = 5π/4 (B)
AnswerA: x = π/4, B: x = 5π/4
الجزء (b) · 9 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
منطقتان مظللتان: الأولى بين المنحنيين من نقطة التقاطع الأولى إلى الثانية، والثانية صغيرة تحت النقطة الثانية بين المنحنيين ومحور السينات. المطلوب «باستخدام التكامل» نسبة مساحة الأولى إلى الثانية بالصورة المعطاة.
كيف تحلّه؟
المنطقة الأولى: كامل (منحنى الجيب ناقص منحنى جيب التمام) بين نقطتي التقاطع، فيختفي الواحد. المنطقة الثانية تقع فوق محور السينات وتحت المنحنى الأدنى، فقسّمها عند نقطة التقاطع الثانية: من باي إلى تلك النقطة كامل منحنى جيب التمام زائد واحد، ومنها إلى ثلاثة أنصاف باي كامل منحنى الجيب زائد واحد. اكتب النسبة ثم اقسم طرفيها على جذر اثنين. الفخ: تكامل منحنى واحد على المنطقة الثانية كلها.
- 1R₁ = ∫ from π/4 to 5π/4 of (sin x − cos x) dx
- 2= [−cos x − sin x] from π/4 to 5π/4 = √2 − (−√2) = 2√2
- 3R₂ = ∫ from π to 5π/4 of (cos x + 1) dx + ∫ from 5π/4 to 3π/2 of (sin x + 1) dx
- 4= [sin x + x] from π to 5π/4 + [−cos x + x] from 5π/4 to 3π/2
- 5= (−√2/2 + π/4) + (π/4 − √2/2) = π/2 − √2
- 6R₁ : R₂ = 2√2 : (π/2 − √2)
- 7Divide by √2: 2 : (π√2/4 − 1)
Answer2 : (π√2/4 − 1)
تحتاج إلى الشرح من البداية؟ درس التكاملات المحددة والمساحات بالعربي
تدرّب على أسئلة التكاملات المحددة والمساحات
حلّ بنفسك، وصحّح كما في الامتحان، واعرف أين ضاعت الدرجة بالضبط.
تدرّب مجاناً على Lemmara