حل السؤال 10، 4PM1/01R يونيو 2023: الهندسة المتجهية
Pearson Edexcel International GCSE Further Pure Mathematics 4PM1 · Paper 1R · بالآلة الحاسبة · 11 درجة
الشرح بالعربية، والحل بالإنجليزية كما يُكتب في ورقة الامتحان. للصيغة الأصلية للسؤال والرسم ارجع إلى ورقة الامتحان الرسمية.
الجزء (a) · 3 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
من الشكل: مثلث رأسه نقطة الأصل، المتجه إلى الرأس الأول ضعف المتجه أ، وإلى الرأس الثاني أربعة أمثال المتجه ب. نقطة منتصف أحد الضلعين، ونقطة تقسم الضلع الثالث بنسبة ثلاثة إلى واحد. المطلوب بأبسط صورة: متجه الضلع الثالث، والمتجه من المنتصف إلى نقطة التقسيم.
كيف تحلّه؟
متجه الضلع من الرأس الأول إلى الثاني: ارجع إلى نقطة الأصل ثم اذهب إلى الرأس الثاني، أي سالب الأول زائد الثاني. للمتجه الثاني: من المنتصف اذهب إلى الرأس الأول (نصف المتجه)، ثم ثلاثة أرباع الضلع الثالث، لأن النسبة ثلاثة إلى واحد تعني ثلاثة أرباع الطول. بسّط بجمع المعاملات. الفخ: أخذ ثلث الضلع بدل ثلاثة أرباعه.
- 1AB = −OA + OB = −2a + 4b
- 2MY = MA + (3/4)AB
- 3= a + (3/4)(−2a + 4b)
- 4= −(1/2)a + 3b
Answer(i) AB = −2a + 4b (ii) MY = −(1/2)a + 3b
الجزء (b) · 5 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
نقطة ثالثة تقع على امتداد الضلع من الأصل إلى الرأس الثاني، والمنتصف ونقطة التقسيم وهذه النقطة على استقامة واحدة. المطلوب نسبة طول الضلع الأصلي إلى طوله بعد الامتداد.
كيف تحلّه؟
اكتب متجه النقطة الثالثة بطريقتين: الأولى مضاعف مجهول للمتجه الواقع عليه الامتداد، والثانية من الأصل إلى المنتصف ثم مضاعف مجهول آخر للمتجه الذي حسبته في الجزء السابق. ساوِ معاملي المتجه أ في الطريقتين، ثم معاملي المتجه ب، فتحصل على معادلتين في المجهولين. الفخ: استخدام المجهول نفسه في الطريقتين.
- 1OX = μ × 4b
- 2Also OX = OM + λMY = a + λ(−a/2 + 3b) = a(1 − λ/2) + 3λb
- 3Compare a: 1 − λ/2 = 0, so λ = 2
- 4Compare b: 4μ = 3λ = 6, so μ = 3/2
- 5OB : OX = 2 : 3
AnswerOB : OX = 2 : 3
الجزء (c) · 3 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
المطلوب نسبة مساحة المثلث الصغير (نقطة التقسيم والرأس الثاني ونقطة الامتداد) إلى مساحة المثلث الكبير (الأصل والرأس الأول ونقطة الامتداد).
كيف تحلّه؟
المثلثان اللذان لهما الارتفاع نفسه تتناسب مساحتاهما مع قاعدتيهما. انتقل على مرحلتين عبر مثلث وسيط رأسه الرأس الأول: قارن الصغير بالوسيط عبر نسبة التقسيم على الضلع، ثم قارن الوسيط بالكبير عبر نسبة الامتداد من الجزء السابق. اضرب النسبتين. الفخ: تربيع نسب الأطوال كأن المثلثين متشابهان.
- 1Triangles YBX and ABX share the height from X; YB = (1/4)AB, so ΔYBX = (1/4)ΔABX
- 2Triangles ABX and OAX share the height from A; BX = (1/3)OX, so ΔABX = (1/3)ΔOAX
- 3ΔYBX/ΔOAX = (1/4) × (1/3) = 1/12
- 4Ratio 1 : 12
Answer1 : 12
تحتاج إلى الشرح من البداية؟ درس الهندسة المتجهية بالعربي
تدرّب على أسئلة الهندسة المتجهية
حلّ بنفسك، وصحّح كما في الامتحان، واعرف أين ضاعت الدرجة بالضبط.
تدرّب مجاناً على Lemmara