حل السؤال 8، 4PM1/02 يونيو 2025: الهندسة المتجهية
Pearson Edexcel International GCSE Further Pure Mathematics 4PM1 · Paper 2 · بالآلة الحاسبة · 11 درجة
الشرح بالعربية، والحل بالإنجليزية كما يُكتب في ورقة الامتحان. للصيغة الأصلية للسؤال والرسم ارجع إلى ورقة الامتحان الرسمية.
الجزء (a) · درجتان
ماذا يطلب السؤال؟
في المثلث المعطى، متجها ضلعين من الرأس الأول معلومان بدلالة متجهين. المطلوب المتجه من الرأس الثاني إلى الثالث مبسّطًا.
كيف تحلّه؟
سِر من بداية المتجه المطلوب إلى الرأس الأول ثم إلى نهايته: أي سالب المتجه الأول زائد المتجه الثاني. ثم اجمع الحدود المتشابهة. الفخ: الطرح بالترتيب المعاكس.
- 1AB = AO + OB
- 2= −(3u + v) + (2v − u) = −4u + v
AnswerAB = −4u + v
الجزء (b) · 4 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
نقطة جديدة بحيث يكون المتجه من الرأس إليها موازيًا لأحد الأضلاع، ومتجهها من نقطة الأصل مضاعف للمتجه الثاني فقط. المطلوب قيمة هذا المضاعف ميو.
كيف تحلّه؟
التوازي يعني أن المتجه يساوي عددًا مجهولًا مضروبًا في المتجه الموازي. اكتب متجه النقطة الجديدة بطريقتين: مسار عبر الرأس، والصيغة المعطاة. قارن معامل المتجه الأول في الطريقتين فتجد المجهول، ثم معامل المتجه الثاني فتجد ميو. الفخ: نسيان أن معامل المتجه الأول يجب أن يكون صفرًا.
- 1AC = λ(2v − u)
- 2OC = OA + AC = (3 − λ)u + (1 + 2λ)v = μv
- 3u: 3 − λ = 0, so λ = 3
- 4v: μ = 1 + 2λ = 7
Answerμ = 7
الجزء (c) · 5 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
المستقيمان يتقاطعان في نقطة، ونقطة أخرى على المستقيم نفسه، ونسبة مساحتي مثلثين معطاة. «باستخدام طريقة المتجهات» جد المتجه المطلوب مبسّطًا.
كيف تحلّه؟
اكتب متجه نقطة التقاطع على صورة نقطة على الضلع زائد كسر مجهول من متجه الضلع، وبما أنها على المستقيم الذي متجهه مضاعف للمتجه الثاني فقط، اجعل معامل المتجه الأول صفرًا. المثلثان يشتركان في الارتفاع من الرأس نفسه، فنسبة مساحتيهما هي نسبة قاعدتيهما على المستقيم. من ذلك جد متجه النقطة الأخيرة، ثم اكتب المتجه المطلوب كمسار. الفخ: جعل نسبة المساحتين نسبة مربعات.
- 1OX = OA + αAB = (3 − 4α)u + (1 + α)v, which is a multiple of v, so α = 3/4
- 2OX = (7/4)v
- 3Triangles BOX and BXD share the height from B, so XD = (3/2)OX and OD = (5/2)OX = (35/8)v
- 4BD = BO + OD = u − 2v + (35/8)v
- 5BD = u + (19/8)v
AnswerBD = u + (19/8)v
تحتاج إلى الشرح من البداية؟ درس الهندسة المتجهية بالعربي
تدرّب على أسئلة الهندسة المتجهية
حلّ بنفسك، وصحّح كما في الامتحان، واعرف أين ضاعت الدرجة بالضبط.
تدرّب مجاناً على Lemmara