حل السؤال 9، 4PM1/02R يناير 2022: حساب المثلثات في الفراغ: الأهرامات والمخاريط
Pearson Edexcel International GCSE Further Pure Mathematics 4PM1 · Paper 2R · بالآلة الحاسبة · 10 درجات
الشرح بالعربية، والحل بالإنجليزية كما يُكتب في ورقة الامتحان. للصيغة الأصلية للسؤال والرسم ارجع إلى ورقة الامتحان الرسمية.
الجزء (a) · درجة واحدة
ماذا يطلب السؤال؟
زاوية حادة ظلها اثنان على ثلاثة. المطلوب القيمة «الدقيقة» لجيب تمامها، أي بالجذر لا بعدد عشري من الآلة الحاسبة.
كيف تحلّه؟
ارسم مثلثًا قائمًا: الضلع المقابل للزاوية اثنان والمجاور ثلاثة. أوجد الوتر بنظرية فيثاغورس، وجيب التمام هو المجاور على الوتر. اترك الجذر في الجواب لأن المطلوب قيمة «دقيقة».
- 1Right-angled triangle with opposite 2, adjacent 3
- 2Hypotenuse = √(4 + 9) = √13
- 3cos α = 3/√13
Answercos α = 3/√13
الجزء (b) · 3 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
هرم قائم قاعدته مستطيل أفقي بعداه أربعة وعشرون وثمانية عشر سنتيمترًا، ورأسه فوق نقطة تقاطع قطري القاعدة، وكل حرف جانبي سبعة عشر سنتيمترًا. المطلوب ارتفاع الهرم.
كيف تحلّه؟
احسب طول قطر القاعدة بفيثاغورس، ثم خذ نصفه: المسافة من مركز القاعدة إلى أحد الأركان. الحرف الجانبي وتر في مثلث قائم ضلعاه هذا النصف والارتفاع، فطبّق فيثاغورس مرة أخرى. الفخ: استخدام القطر كله بدل نصفه.
- 1OC = ½ × √(24² + 18²) = 15 (= √(9² + 12²))
- 2h² = 17² − 15² = 64
- 3h = 8
Answerh = 8
الجزء (c) · درجتان
ماذا يطلب السؤال؟
الزاوية بين الوجه المثلثي المار بالضلع القصير للقاعدة ومستوى القاعدة. «بيّن أن» ظل هذه الزاوية اثنان على ثلاثة.
كيف تحلّه؟
خذ منتصف ضلع القاعدة المشترك بين المستويين. الخط من مركز القاعدة إلى هذا المنتصف عمودي على الضلع، وطوله نصف الضلع الآخر للمستطيل. والخط من رأس الهرم إلى المنتصف عمودي عليه أيضًا. الزاوية بينهما هي المطلوبة، وظلها الارتفاع على تلك المسافة، ثم بسّط الكسر.
- 1Let M be the midpoint of BC; OM = 24/2 = 12
- 2tan θ = h/OM = 8/12 = 2/3
Answertan θ° = 2/3 shown
الجزء (d) · 4 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
نقطتان هما منتصفا الحرفين الجانبيين النازلين إلى طرفي الضلع القصير. المطلوب الزاوية بين المستوى المار بمركز القاعدة وهاتين النقطتين، والمستوى المار بهما وبطرفي الضلع القصير، بالدرجات لمنزلة عشرية واحدة.
كيف تحلّه؟
المستويان يشتركان في القطعة الواصلة بين المنتصفين. خذ منتصف هذه القطعة، وهو أيضًا منتصف الخط من رأس الهرم إلى منتصف الضلع القصير. ارسم منه خطًا إلى مركز القاعدة وخطًا إلى منتصف الضلع؛ الزاوية بينهما هي المطلوبة. منتصف وتر المثلث القائم يبعد البعد نفسه عن رؤوسه الثلاثة، فالمثلث الناتج متساوي الساقين وزاويتا قاعدته تساويان زاوية الجزء السابق. الفخ: الاكتفاء بزاوية القاعدة بدل الزاوية عند الرأس.
- 1Let N be the midpoint of PQ, which is the midpoint of EM
- 2EM = √(8² + 12²) = 4√13, so NM = 2√13
- 3NO = 2√13 (by the cosine rule, or as O is the right angle of triangle EOM)
- 4Triangle ONM is isosceles with base angles θ = 33.7°
- 5Angle ONM = 180° − 2 × 33.7° = 112.6°
Answer112.6°
تحتاج إلى الشرح من البداية؟ درس حساب المثلثات في الفراغ: الأهرامات والمخاريط بالعربي
تدرّب على أسئلة حساب المثلثات في الفراغ: الأهرامات والمخاريط
حلّ بنفسك، وصحّح كما في الامتحان، واعرف أين ضاعت الدرجة بالضبط.
تدرّب مجاناً على Lemmara