حل السؤال 2، 4PM1/01 يناير 2023: المستقيمات المتعامدة
Pearson Edexcel International GCSE Further Pure Mathematics 4PM1 · Paper 1 · بالآلة الحاسبة · 13 درجة
الشرح بالعربية، والحل بالإنجليزية كما يُكتب في ورقة الامتحان. للصيغة الأصلية للسؤال ارجع إلى ورقة الامتحان الرسمية.
الجزء (a) · 4 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
ثلاث نقاط معلومة الإحداثيات. خط يمر بالنقطة الثالثة وعمودي على القطعة بين الأولى والثانية. المطلوب معادلته بمعاملات صحيحة وكل الحدود في طرف واحد.
كيف تحلّه؟
احسب ميل القطعة بين النقطتين الأوليين، وميل العمودي سالب مقلوبه. استخدم صيغة الميل ونقطة مع النقطة الثالثة، ثم أزل الكسور ورتّب. الفخ: استخدام إحدى النقطتين الأوليين بدل الثالثة.
- 1Gradient of AB = (0 − 3)/(4 + 5) = −1/3
- 2Gradient of l = 3
- 3y − 5 = 3(x + 1)
- 43x − y + 8 = 0
Answer3x − y + 8 = 0
الجزء (b) · 3 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
الخط السابق يقطع القطعة بين النقطتين الأوليين في نقطة. المطلوب «بيّن أن» إحداثياتها هي القيمتان المعطاتان.
كيف تحلّه؟
اكتب معادلة الخط المار بالنقطتين الأوليين، ثم حلّها مع معادلة الجزء السابق معًا، بمساواة عبارتي الصاد مثلًا. اضرب لإزالة الكسور ثم أوجد السين والصاد حتى تصل للإحداثيين المعطيين. الفخ: التحقق بالتعويض في خط واحد فقط.
- 1AB: y = −(1/3)(x − 4)
- 2l: y = 3x + 8
- 33x + 8 = −x/3 + 4/3, so 9x + 24 = −x + 4
- 4x = −2, y = 3(−2) + 8 = 2, so D = (−2, 2)
AnswerD = (−2, 2) shown
الجزء (c) · درجتان
ماذا يطلب السؤال؟
المطلوب «بيّن أن» هذا الخط ليس العمود المنصّف للقطعة بين النقطتين الأوليين، مع أنه عمودي عليها.
كيف تحلّه؟
العمود المنصّف يجب أن يمر بمنتصف القطعة. احسب المنتصف بأخذ متوسط السينين ومتوسط الصادين، ثم قارنه بنقطة التقاطع التي وجدتها. اكتب جملة استنتاج واضحة. الفخ: الاكتفاء بالحساب دون جملة الاستنتاج.
- 1Midpoint of AB = ((−5 + 4)/2, (3 + 0)/2) = (−1/2, 3/2)
- 2This is not D (−2, 2), so l does not pass through the midpoint of AB
AnswerMidpoint of AB is (−1/2, 3/2) ≠ D, so l is not the perpendicular bisector
الجزء (d) · 4 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
المطلوب قيمة ظل الزاوية عند النقطة الثانية في المثلث المكوّن من النقاط الثلاث، في أبسط صورة.
كيف تحلّه؟
نقطة التقاطع تجعل المثلث بين النقطة الثانية ونقطة التقاطع والنقطة الثالثة قائمًا عند نقطة التقاطع. الزاوية المطلوبة يقابلها الضلع من نقطة التقاطع إلى النقطة الثالثة، ويجاورها الضلع من نقطة التقاطع إلى النقطة الثانية. احسب الطولين بقانون المسافة واقسم واختصر. الفخ: قلب الكسر بين المقابل والمجاور.
- 1Triangle BDC has a right angle at D
- 2CD = √((−1 + 2)² + (5 − 2)²) = √10
- 3BD = √((4 + 2)² + (0 − 2)²) = √40 = 2√10
- 4tan ∠ABC = CD/BD = √10/(2√10) = 1/2
Answertan ∠ABC = 1/2
تحتاج إلى الشرح من البداية؟ درس المستقيمات المتعامدة بالعربي
تدرّب على أسئلة المستقيمات المتعامدة
حلّ بنفسك، وصحّح كما في الامتحان، واعرف أين ضاعت الدرجة بالضبط.
تدرّب مجاناً على Lemmara