حل السؤال 9، 4PM1/02 يونيو 2022: المستقيمات المتعامدة
Pearson Edexcel International GCSE Further Pure Mathematics 4PM1 · Paper 2 · بالآلة الحاسبة · 12 درجة
الشرح بالعربية، والحل بالإنجليزية كما يُكتب في ورقة الامتحان. للصيغة الأصلية للسؤال ارجع إلى ورقة الامتحان الرسمية.
الجزء (a) · 7 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
خط مستقيم يمر بنقطة معلومة وميله سالب، وخط آخر عمودي عليه يمر بنقطة لها الإحداثي السيني نفسه، ويتقاطعان في نقطة ثالثة. المطلوب «بيّن أن» الإحداثي الصادي لنقطة التقاطع يساوي العبارة المعطاة بدلالة الميل والثابت.
كيف تحلّه؟
اكتب معادلة الخط الأول بصيغة النقطة والميل. ميل العمودي هو سالب مقلوب الميل، فاكتب معادلة الخط الثاني بالطريقة نفسها. لاحظ أن الفرق «السين ناقص أربعة» يظهر في المعادلتين، فاجعله موضوع القانون من الأولى وعوّض في الثانية، ثم اضرب في مربع الميل وجمّع حدود الصاد. الفخ: نسيان الإشارة السالبة في ميل العمودي.
- 1L₁: y − 7 = m(x − 4)
- 2Gradient of L₂ = −1/m, so L₂: y − k = −(1/m)(x − 4)
- 3From L₁: x − 4 = (y − 7)/m
- 4Substitute: y − k = −(y − 7)/m²
- 5m²y − m²k = 7 − y ⇒ y(m² + 1) = 7 + m²k
- 6Y = (7 + m²k)/(m² + 1)
AnswerY = (7 + m²k)/(m² + 1) shown
الجزء (b) · 5 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
إذا عُلم أن المثلث المكوّن من النقطتين المعطاتين ونقطة التقاطع متساوي الساقين، المطلوب قيمة الميل.
كيف تحلّه؟
الزاوية عند نقطة التقاطع قائمة لأن الخطين متعامدان، فالساقان المتساويان هما الضلعان عندها، وتقع نقطة التقاطع على مستوى منتصف القطعة الرأسية بين النقطتين الأوليين. ساوِ الإحداثي الصادي من الجزء السابق بإحداثي المنتصف وبسّط، واختصر العامل الذي لا يساوي صفرًا، ثم اختر القيمة السالبة كما يشترط السؤال. الفخ: الضرب والفك دون ملاحظة العامل المشترك.
- 1Angle ACB = 90°, so the isosceles triangle has CA = CB and C lies level with the midpoint of AB
- 2Midpoint of AB = (4, (k + 7)/2), so (k + 7)/2 = (7 + m²k)/(m² + 1)
- 3(k + 7)(m² + 1) = 14 + 2m²k ⇒ m²(k − 7) = k − 7
- 4k ≠ 7 so m² = 1, m = ±1
- 5m < 0 so m = −1
Answerm = −1
تحتاج إلى الشرح من البداية؟ درس المستقيمات المتعامدة بالعربي
تدرّب على أسئلة المستقيمات المتعامدة
حلّ بنفسك، وصحّح كما في الامتحان، واعرف أين ضاعت الدرجة بالضبط.
تدرّب مجاناً على Lemmara