حل السؤال 8، 4PM1/01 يناير 2023: المماسات والأعمدة والنقاط الثابتة (متقدم)
Pearson Edexcel International GCSE Further Pure Mathematics 4PM1 · Paper 1 · بالآلة الحاسبة · 13 درجة
الشرح بالعربية، والحل بالإنجليزية كما يُكتب في ورقة الامتحان. للصيغة الأصلية للسؤال والرسم ارجع إلى ورقة الامتحان الرسمية.
الجزء (a) · 5 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
من الشكل: شارة مكوّنة من مستطيلين متطابقين بعداهما السين والصاد، وقطاع دائري نصف قطره السين وزاويته معطاة بالراديان. مساحة الشارة معلومة. المطلوب «بيّن أن» محيطها يساوي العبارة المعطاة.
كيف تحلّه؟
اكتب المساحة: مستطيلان مضافًا إليهما مساحة القطاع (نصف مربع نصف القطر في الزاوية)، وساوِها بالمعطى واجعل الصاد موضوع القانون. ثم من الشكل حدّد الأضلاع الخارجية للمحيط: أطوال من المستطيلين وطول القوس (نصف القطر في الزاوية). عوّض عن الصاد وبسّط. الفخ: إدخال ضلع داخلي مشترك في المحيط.
- 1Area = 2xy + ½x²(0.5) = 2xy + x²/4 = 50
- 2So y = (50 − x²/4)/(2x)
- 3P = 2x + 4y + 0.5x (arc length CG = 0.5x)
- 44y = (100 − x²/2)/x = 100/x − x/2
- 5P = 2.5x + 100/x − x/2 = 2x + 100/x
AnswerP = 2x + 100/x shown
الجزء (b) · 6 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
إذا تغيّرت السين، المطلوب بالتفاضل القيمة الدقيقة للسين التي تجعل المحيط أصغر ما يمكن، مع تبرير أنها تعطي قيمة صغرى.
كيف تحلّه؟
اشتق عبارة المحيط بعد كتابة الحد الثاني بأس سالب. ساوِ المشتقة بالصفر وحلّ لمربع السين، وخذ الجذر الموجب في أبسط صورة جذرية. ثم احسب المشتقة الثانية وبيّن أنها موجبة عند هذه القيمة. الفخ: إعطاء قيمة عشرية والمطلوب «قيمة دقيقة».
- 1dP/dx = 2 − 100/x²
- 22 − 100/x² = 0, x² = 50
- 3x = √50 = 5√2 (x > 0)
- 4d²P/dx² = 200/x³
- 5At x = 5√2, d²P/dx² > 0, so P is a minimum
Answerx = 5√2; d²P/dx² = 200/x³ > 0, so minimum
الجزء (c) · درجتان
ماذا يطلب السؤال؟
المطلوب القيمة الصغرى للمحيط، على صورة عدد صحيح مضروب في جذر اثنين، والعدد الصحيح مطلوب إيجاده.
كيف تحلّه؟
عوّض بالقيمة الدقيقة في عبارة المحيط. في الحد الكسري اضرب البسط والمقام في جذر اثنين لإزالته من المقام، ثم اجمع الحدين المتشابهين. الفخ: استخدام قيمة عشرية فلا تصل للصورة المطلوبة.
- 1P = 2(5√2) + 100/(5√2)
- 2= 10√2 + 10√2 = 20√2
Answer20√2
تحتاج إلى الشرح من البداية؟ درس المماسات والأعمدة والنقاط الثابتة (متقدم) بالعربي
تدرّب على أسئلة المماسات والأعمدة والنقاط الثابتة (متقدم)
حلّ بنفسك، وصحّح كما في الامتحان، واعرف أين ضاعت الدرجة بالضبط.
تدرّب مجاناً على Lemmara