حل السؤال 11، 4PM1/02 يناير 2023: التكاملات المحددة والمساحات
Pearson Edexcel International GCSE Further Pure Mathematics 4PM1 · Paper 2 · بالآلة الحاسبة · 14 درجة
الشرح بالعربية، والحل بالإنجليزية كما يُكتب في ورقة الامتحان. للصيغة الأصلية للسؤال والرسم ارجع إلى ورقة الامتحان الرسمية.
الجزء (a) · 3 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
من الشكل: منحنى متناقص معادلته أربعة ناقص هـ مرفوعًا لضعف السين، يقطع محور الصادات في نقطة ومحور السينات في أخرى. المطلوب الإحداثي الصادي للأولى، و«بيّن أن» الإحداثي السيني للثانية هو اللوغاريتم الطبيعي لاثنين.
كيف تحلّه؟
للأولى عوّض بالسين صفرًا، وتذكّر أن أي عدد مرفوع لصفر يساوي واحدًا. للثانية ساوِ الصاد بالصفر، فيصبح الحد الأسي يساوي أربعة. خذ اللوغاريتم الطبيعي للطرفين، ثم اقسم على اثنين واستخدم قانون الأس داخل اللوغاريتم.
- 1x = 0: y = 4 − 1 = 3
- 2y = 0: e^(2x) = 4
- 32x = ln 4
- 4x = ½ ln 4 = ln 2
Answer(i) y = 3 (ii) x = ln 2 shown
الجزء (b) · 4 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
الخط العمودي (الناظم) على المنحنى عند نقطة قطعه لمحور السينات. المطلوب معادلته على صورة: الصاد تساوي ميلًا في السين زائد ثابت.
كيف تحلّه؟
اشتق المنحنى، وعوّض بالسين عند تلك النقطة لتجد ميل المماس. ميل الناظم سالب مقلوبه. استخدم صيغة الميل ونقطة، واترك اللوغاريتم كما هو دون تقريب. الفخ: استخدام ميل المماس بدل الناظم.
- 1dy/dx = −2e^(2x)
- 2At x = ln 2: dy/dx = −2 × 4 = −8
- 3Normal gradient = 1/8
- 4y − 0 = (1/8)(x − ln 2)
- 5y = (1/8)x − (1/8) ln 2
Answery = (1/8)x − (1/8) ln 2
الجزء (c) · 7 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
المنطقة المحدودة محصورة بين المنحنى والناظم ومحور الصادات. المطلوب مساحتها باستخدام التفاضل والتكامل، لمنزلة عشرية واحدة.
كيف تحلّه؟
من الشكل، المنطقة جزءان: جزء فوق محور السينات تحت المنحنى من الصفر إلى نقطة القطع، وتحسبه بالتكامل؛ وجزء مثلث تحت محور السينات بين محور الصادات والناظم. أوجد أين يقطع الناظم محور الصادات، واحسب مساحة المثلث. اجمع الجزأين. الفخ: نسيان المثلث تحت المحور.
- 1Area under C = ∫ from 0 to ln 2 of (4 − e^(2x)) dx
- 2= [4x − ½e^(2x)] from 0 to ln 2 = (4 ln 2 − 2) − (−½) = 4 ln 2 − 3/2
- 3l meets the y-axis at (0, −(1/8) ln 2), below the x-axis
- 4Triangle area = ½ × ln 2 × (1/8) ln 2 = (ln 2)²/16
- 5Area of R = 4 ln 2 − 3/2 + (ln 2)²/16 ≈ 1.3
Answer1.3
تحتاج إلى الشرح من البداية؟ درس التكاملات المحددة والمساحات بالعربي
تدرّب على أسئلة التكاملات المحددة والمساحات
حلّ بنفسك، وصحّح كما في الامتحان، واعرف أين ضاعت الدرجة بالضبط.
تدرّب مجاناً على Lemmara