حل السؤال 9، 4PM1/01 يونيو 2025: النقاط الحرجة والقيم العظمى والصغرى
Pearson Edexcel International GCSE Further Pure Mathematics 4PM1 · Paper 1 · بالآلة الحاسبة · 13 درجة
الشرح بالعربية، والحل بالإنجليزية كما يُكتب في ورقة الامتحان. للصيغة الأصلية للسؤال والرسم ارجع إلى ورقة الامتحان الرسمية.
الجزء (a) · 5 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
منحنى دالة تكعيبية فيها ثلاثة معاملات صحيحة مجهولة، ونقطة عظمى ونقطة صغرى معلومتان. المطلوب «بيّن أن» المعاملات تساوي القيم المعطاة.
كيف تحلّه؟
اشتق الدالة. المشتقة صفر عند الإحداثي السيني لكل من النقطتين، فتحصل على معادلتين في معاملين؛ حلّهما معًا. ثم عوّض بإحداثيي النقطة الصغرى في الدالة نفسها لتجد الحد الثابت. الفخ: التعويض بالإحداثي الصادي في المشتقة.
- 1f′(x) = 6x² + 2ax + b
- 2f′(2) = 0: 24 + 4a + b = 0
- 3f′(−1/3) = 0: 2/3 − 2a/3 + b = 0
- 4Solving: a = −5, b = −4
- 5f(2) = −9: 16 − 20 − 8 + c = −9, so c = 3
Answera = −5, b = −4, c = 3 shown
الجزء (bi) · درجة واحدة
ماذا يطلب السؤال؟
باستخدام المعاملات من الجزء السابق، المطلوب «بيّن أن» القوس «السين زائد واحد» عامل للدالة.
كيف تحلّه؟
نظرية العامل: القوس عامل إذا كانت الدالة تساوي صفرًا عند القيمة التي تجعله صفرًا. عوّض بسالب واحد في الدالة، واحسب كل حد بإشارته، وبيّن أن الناتج صفر، ثم اذكر النظرية في الاستنتاج.
- 1f(−1) = −2 − 5 + 4 + 3 = 0
- 2By the factor theorem, (x + 1) is a factor
Answerf(−1) = 0, so (x + 1) is a factor
الجزء (bii) · 3 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
«ومن ثمّ» المطلوب تحليل الدالة التكعيبية تحليلًا كاملًا بالجبر إلى حاصل ضرب ثلاثة عوامل خطية.
كيف تحلّه؟
اقسم الدالة على العامل لتحصل على عبارة تربيعية، ثم حلّلها إلى قوسين، واكتب الدالة حاصل ضرب ثلاثة أقواس خطية.
- 1Divide by (x + 1): quotient 2x² − 7x + 3
- 22x² − 7x + 3 = (2x − 1)(x − 3)
- 3f(x) = (x + 1)(x − 3)(2x − 1)
Answerf(x) = (x + 1)(x − 3)(2x − 1)
الجزء (c) · 4 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
المنحنى يقطع محور السينات في ثلاث نقاط، والمنطقتان المظللتان بين المنحنى والمحور. المطلوب «باستخدام التكامل الجبري» المساحة الكلية كسرًا دقيقًا.
كيف تحلّه؟
نقاط القطع من التحليل السابق. كامل الدالة، واحسب التكامل لكل منطقة على حدة: الأولى فوق المحور، والثانية تحته فيخرج تكاملها سالبًا فخذ قيمته المطلقة، ثم اجمع. الفخ: التكامل مرة واحدة على المجال كله فتلغي المنطقتان بعضهما.
- 1M = −1, N = 1/2, P = 3
- 2∫ f(x) dx = x⁴/2 − (5/3)x³ − 2x² + 3x
- 3From −1 to 1/2: 117/32
- 4From 1/2 to 3: −1375/96, area 1375/96
- 5Total = 117/32 + 1375/96 = 863/48
Answer863/48
تحتاج إلى الشرح من البداية؟ درس النقاط الحرجة والقيم العظمى والصغرى بالعربي
تدرّب على أسئلة النقاط الحرجة والقيم العظمى والصغرى
حلّ بنفسك، وصحّح كما في الامتحان، واعرف أين ضاعت الدرجة بالضبط.
تدرّب مجاناً على Lemmara