حل السؤال 9، 4PM1/02R يناير 2023: المتتابعات الهندسية ومجموعها إلى ما لا نهاية
Pearson Edexcel International GCSE Further Pure Mathematics 4PM1 · Paper 2R · بالآلة الحاسبة · 12 درجة
الشرح بالعربية، والحل بالإنجليزية كما يُكتب في ورقة الامتحان. للصيغة الأصلية للسؤال ارجع إلى ورقة الامتحان الرسمية.
الجزء (a) · 8 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
متتالية هندسية نسبتها موجبة، حدها الثالث سبعة وعشرون على اثنين، ومجموع حدودها الثلاثة الأولى سبعة وخمسون على اثنين. «بيّن أن» مجموع أول ن حدًا يساوي المجموع (سيجما) بالصورة المعطاة.
كيف تحلّه؟
اكتب الحد الثالث: الحد الأول في مربع النسبة. واكتب مجموع الحدود الثلاثة واطرح منه الحد الثالث، فيبقى الحد الأول في (واحد زائد النسبة). اجعل الحد الأول موضوع القانون وعوّض في المعادلة الأولى لتحصل على معادلة تربيعية في النسبة، حلّلها واختر الموجبة. ثم اكتب الحد العام وحوّله إلى الصورة المطلوبة. الفخ: إيجاد النسبة والتوقف دون الوصول إلى صورة المجموع.
- 1ar² = 27/2
- 2a + ar + 27/2 = 57/2 → a(1 + r) = 15 → a = 15/(1 + r)
- 3(15/(1 + r))r² = 27/2 → 10r² − 9r − 9 = 0
- 4(5r + 3)(2r − 3) = 0, r > 0 so r = 3/2
- 5a = 15/(5/2) = 6
- 6Term j is 6(3/2)^(j − 1) = 4(3/2)^j, so Sₙ = Σ from j = 1 to n of 4(3/2)^j
AnswerSₙ = Σ from j = 1 to n of 4(3/2)^j shown (a = 6, r = 3/2)
الجزء (b) · 3 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
مجموع أول عدد من الحدود أكبر من خمسين ألفًا. «بيّن أن» هذا العدد يجب أن يكون أكبر من الكسر اللوغاريتمي المعطى.
كيف تحلّه؟
اكتب المجموع بقانون مجموع المتتالية الهندسية وكوّن المتباينة. اعزل النسبة المرفوعة للقوة في طرف وحدها. خذ اللوغاريتم العشري للطرفين فينزل الأس، ثم اقسم على لوغاريتم النسبة؛ وهو موجب فلا ينقلب الاتجاه. الفخ: الخطأ الحسابي عند عزل القوة.
- 16(1.5^k − 1)/(1.5 − 1) > 50 000
- 212(1.5^k − 1) > 50 000 → 1.5^k > 12 503/3
- 3k lg 1.5 > lg(12 503/3)
- 4k > lg(12 503/3)/lg(3/2)
Answerk > lg(12 503/3)/lg(3/2) shown
الجزء (c) · درجة واحدة
ماذا يطلب السؤال؟
«ومن ثمّ» استخدم المتباينة من الجزء السابق لإيجاد أصغر قيمة لعدد الحدود يتجاوز عندها المجموع خمسين ألفًا.
كيف تحلّه؟
احسب الكسر اللوغاريتمي بالآلة الحاسبة. عدد الحدود عدد صحيح، فخذ أصغر عدد صحيح أكبر من الناتج. الفخ: التقريب للأقرب بدل الأعلى.
- 1k > 20.556…
- 2Least k = 21
Answerk = 21
تحتاج إلى الشرح من البداية؟ درس المتتابعات الهندسية ومجموعها إلى ما لا نهاية بالعربي
تدرّب على أسئلة المتتابعات الهندسية ومجموعها إلى ما لا نهاية
حلّ بنفسك، وصحّح كما في الامتحان، واعرف أين ضاعت الدرجة بالضبط.
تدرّب مجاناً على Lemmara