حل السؤال 8، 4PM1/02R يونيو 2024: المتتابعات الهندسية ومجموعها إلى ما لا نهاية
Pearson Edexcel International GCSE Further Pure Mathematics 4PM1 · Paper 2R · بالآلة الحاسبة · 14 درجة
الشرح بالعربية، والحل بالإنجليزية كما يُكتب في ورقة الامتحان. للصيغة الأصلية للسؤال ارجع إلى ورقة الامتحان الرسمية.
الجزء (a) · 7 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
متسلسلة هندسية: مجموع حديها الأول والثاني معلوم، ومجموع حديها الثاني والثالث معلوم. المطلوب «بيّن أن» الحد العام يساوي عددًا صحيحًا في أربعة أخماس مرفوعة للأس ن ناقص واحد، وإيجاد هذا العدد.
كيف تحلّه؟
اكتب المعادلتين بالحد الأول والأساس. لاحظ أن الثانية هي الأولى مضروبة في الأساس، فاقسم الثانية على الأولى لتجد الأساس. ثم عوّض في الأولى لتجد الحد الأول، واكتب الحد العام. الفخ: الخلط بين الحد الأول والأساس عند التعويض.
- 1a + ar = 360 and ar + ar² = 288
- 2r = ar(1 + r)/(a(1 + r)) = 288/360 = 4/5
- 3a = 360/(1 + 4/5) = 200
- 4Uₙ = 200(4/5)ⁿ⁻¹
AnswerUₙ = 200(4/5)ⁿ⁻¹ (A = 200)
الجزء (b) · درجة واحدة
ماذا يطلب السؤال؟
المطلوب «اشرح» لماذا المتسلسلة الهندسية متقاربة، أي لماذا يكون لها مجموع إلى ما لا نهاية.
كيف تحلّه؟
المتسلسلة الهندسية تتقارب عندما تكون القيمة المطلقة للأساس أقل من واحد. اذكر قيمة الأساس من الجزء السابق وأنها تحقق هذا الشرط.
- 1r = 4/5
- 2|r| < 1, so the series converges
Answer|r| = 4/5 < 1, so G is convergent
الجزء (c) · درجتان
ماذا يطلب السؤال؟
«ومن ثمّ» تعني استخدم الحد الأول والأساس. المطلوب مجموع المتسلسلة إلى ما لا نهاية.
كيف تحلّه؟
استخدم القانون: الحد الأول مقسومًا على واحد ناقص الأساس، وعوّض القيمتين من الجزء الأول. الفخ: استخدام قانون مجموع عدد محدود من الحدود.
- 1S∞ = a/(1 − r)
- 2= 200/(1 − 4/5) = 1000
Answer1000
الجزء (d) · 4 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
المطلوب أقل عدد من الحدود يكون مجموعها أكبر من قيمة معطاة قريبة من المجموع اللانهائي.
كيف تحلّه؟
اكتب مجموع أول ن حدًا بالقانون واجعله أكبر من القيمة المعطاة. اعزل أربعة أخماس أس ن في طرف، وانتبه أن العلامة تنقلب. خذ اللوغاريتم للطرفين، وتذكّر أن لوغاريتم أربعة أخماس سالب فتنقلب العلامة مرة أخرى عند القسمة. خذ أول عدد صحيح يحقق النتيجة. الفخ: تقريب ن للأقرب بدل التقريب للأعلى.
- 1200(1 − (4/5)ⁿ)/(1 − 4/5) > 978
- 21000(1 − (4/5)ⁿ) > 978, so (4/5)ⁿ < 11/500
- 3n log(4/5) < log(11/500)
- 4n > 17.10…, so n = 18
Answern = 18
تحتاج إلى الشرح من البداية؟ درس المتتابعات الهندسية ومجموعها إلى ما لا نهاية بالعربي
تدرّب على أسئلة المتتابعات الهندسية ومجموعها إلى ما لا نهاية
حلّ بنفسك، وصحّح كما في الامتحان، واعرف أين ضاعت الدرجة بالضبط.
تدرّب مجاناً على Lemmara