حل السؤال 8، 4PM1/01R يونيو 2023: المتتابعات الهندسية ومجموعها إلى ما لا نهاية
Pearson Edexcel International GCSE Further Pure Mathematics 4PM1 · Paper 1R · بالآلة الحاسبة · 10 درجات
الشرح بالعربية، والحل بالإنجليزية كما يُكتب في ورقة الامتحان. للصيغة الأصلية للسؤال ارجع إلى ورقة الامتحان الرسمية.
الجزء (a) · درجة واحدة
ماذا يطلب السؤال؟
متسلسلة هندسية حدها العام كسر ثابت مضروب في ثلاثة أخماس مرفوعة للأس ن. المطلوب القيمة الدقيقة للحد الخامس.
كيف تحلّه؟
عوّض ن بخمسة في صيغة الحد العام. احسب ثلاثة أخماس مرفوعة للقوة الخامسة كسرًا (البسط مرفوعًا والمقام مرفوعًا)، ثم اضرب في الكسر الثابت واختصر. الفخ: كتابة عدد عشري مقرّب من الآلة الحاسبة بدل الكسر الدقيق.
- 1U₅ = (25/4) × (3/5)⁵ = (25/4) × 243/3125
- 2= 243/500
Answer243/500
الجزء (b) · 3 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
المطلوب «بيّن أن» مجموع أول ن حدًا يُكتب برمز المجموع (سيجما) لحدود على صورة كسر ثابت في ثلاثة أخماس مرفوعة لأس يبدأ من صفر، وإيجاد بسط هذا الكسر ومقامه.
كيف تحلّه؟
احسب الحد الأول بالتعويض بواحد في صيغة الحد العام. الأساس ثلاثة أخماس. اكتب الحد العام على صورة الحد الأول في الأساس مرفوعًا لرتبة الحد ناقص واحد، ثم اكتب المجموع برمز سيجما واقرأ البسط والمقام. الفخ: الخلط بين الأس ن والأس ن ناقص واحد.
- 1U₁ = (25/4)(3/5) = 15/4
- 2Common ratio r = 3/5
- 3Uᵣ = (15/4)(3/5)^(r − 1)
- 4Sₙ = Σ from r = 1 to n of (15/4)(3/5)^(r − 1): A = 15, B = 4
AnswerSₙ = Σ from r = 1 to n of (15/4)(3/5)^(r − 1), so A = 15, B = 4 — shown
الجزء (c) · 6 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
المطلوب أصغر عدد صحيح ن يجعل الفرق بين المجموع إلى ما لا نهاية ومجموع أول ن حدًا أقل من قيمة صغيرة معطاة.
كيف تحلّه؟
احسب المجموع اللانهائي: الحد الأول على واحد ناقص الأساس. اكتب مجموع أول ن حدًا بقانونه، ثم اطرح فيبقى المجموع اللانهائي في ثلاثة أخماس مرفوعة للأس ن. اجعله أقل من القيمة المعطاة، وخذ اللوغاريتم للطرفين. لوغاريتم ثلاثة أخماس سالب، فعند القسمة عليه تنقلب علامة المتباينة. ثم خذ أول عدد صحيح يحققها. الفخ: نسيان قلب المتباينة.
- 1S = (15/4)/(1 − 3/5) = 75/8 = 9.375
- 2Sₙ = (15/4)(1 − (3/5)ⁿ)/(1 − 3/5) = 9.375(1 − (3/5)ⁿ)
- 3S − Sₙ = 9.375(3/5)ⁿ < 0.045, so (3/5)ⁿ < 3/625
- 4n lg(3/5) < lg(3/625); lg(3/5) < 0 so n > 10.45
- 5Least n = 11
Answern = 11
تحتاج إلى الشرح من البداية؟ درس المتتابعات الهندسية ومجموعها إلى ما لا نهاية بالعربي
تدرّب على أسئلة المتتابعات الهندسية ومجموعها إلى ما لا نهاية
حلّ بنفسك، وصحّح كما في الامتحان، واعرف أين ضاعت الدرجة بالضبط.
تدرّب مجاناً على Lemmara