حل السؤال 11، 4PM1/01 يونيو 2019: معادلة المماس
Pearson Edexcel International GCSE Further Pure Mathematics 4PM1 · Paper 1 · بالآلة الحاسبة · 17 درجة
الشرح بالعربية، والحل بالإنجليزية كما يُكتب في ورقة الامتحان. للصيغة الأصلية للسؤال ارجع إلى ورقة الامتحان الرسمية.
الجزء (a) · 6 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
منحنى معادلته ثلاثة أمثال الصاد تساوي مربع السين زائد اثنين، ونقطة عليه إحداثيها السيني أربعة. المطلوب معادلة المماس عند هذه النقطة بصورة معاملاتها أعداد صحيحة كما هو مطلوب.
كيف تحلّه؟
اجعل الصاد موضوع القانون، وعوّض لتجد الإحداثي الصادي للنقطة. اشتق لتجد ميل المماس عندها. ثم استخدم صيغة الخط المستقيم بنقطة وميل، واضرب في المقام لتتخلص من الكسور. الفخ: نسيان القسمة على ثلاثة قبل الاشتقاق.
- 1x = 4: y = (16 + 2)/3 = 6
- 2dy/dx = 2x/3, at x = 4 gradient = 8/3
- 3y − 6 = (8/3)(x − 4)
- 43y = 8x − 14
Answer3y = 8x − 14
الجزء (b) · درجتان
ماذا يطلب السؤال؟
المطلوب معادلة العمودي على المنحنى عند النقطة نفسها، بالصورة المطلوبة ذات المعاملات الصحيحة.
كيف تحلّه؟
ميل العمودي هو سالب مقلوب ميل المماس. استخدم النقطة نفسها مع هذا الميل في صيغة الخط المستقيم، ثم اضرب في المقام ورتّب. الخطأ الشائع: نسيان تغيير الإشارة.
- 1Gradient of normal = −3/8
- 2y − 6 = −(3/8)(x − 4)
- 38y = −3x + 60
Answer8y = −3x + 60
الجزء (c) · 3 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
بعد إيجاد المماس والعمودي عند النقطة نفسها على المنحنى، المطلوب مساحة المثلث المحصور بين هذين الخطين ومحور السينات.
كيف تحلّه؟
أوجد نقطة تقاطع كل خط مع محور السينات بوضع الصاد صفرًا. المسافة بينهما هي قاعدة المثلث، والارتفاع هو الإحداثي الصادي لنقطة التماس. المساحة نصف القاعدة في الارتفاع.
- 1k meets the x-axis at x = 7/4; l meets it at x = 20
- 2Base = 20 − 7/4 = 73/4, height = 6
- 3Area = ½ × 73/4 × 6 = 219/4 = 54.75
Answer219/4 (54.75)
الجزء (d) · 6 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
المنطقة المحصورة بين المنحنى والعمودي ومحوري الإحداثيات تدور دورة كاملة حول محور السينات. المطلوب حجم المجسم بالتكامل الجبري لأقرب عدد صحيح.
كيف تحلّه؟
قسّم المنطقة جزأين عند نقطة التماس: الجزء تحت المنحنى حجمه باي في تكامل مربع الصاد من الصفر إلى نقطة التماس، والجزء تحت العمودي مثلث يعطي عند دورانه مخروطًا نصف قطره الإحداثي الصادي للنقطة. اجمع الحجمين. الفخ: نسيان تربيع الصاد قبل التكامل، أو نسيان المخروط.
- 1V = π ∫ from 0 to 4 of ((x² + 2)/3)² dx + volume of cone (radius 6, height 16)
- 2π ∫ (1/9)(x⁴ + 4x² + 4) dx = (π/9)[x⁵/5 + 4x³/3 + 4x] from 0 to 4
- 3= (π/9)(1024/5 + 256/3 + 16)
- 4Cone = (1/3)π × 6² × 16 = 192π
- 5Total = 710 (nearest whole number)
Answer710
تحتاج إلى الشرح من البداية؟ درس معادلة المماس بالعربي
تدرّب على أسئلة معادلة المماس
حلّ بنفسك، وصحّح كما في الامتحان، واعرف أين ضاعت الدرجة بالضبط.
تدرّب مجاناً على Lemmara