حل السؤال 10، 4PM1/01 يونيو 2019: التكاملات المحددة والمساحات
Pearson Edexcel International GCSE Further Pure Mathematics 4PM1 · Paper 1 · بالآلة الحاسبة · 14 درجة
الشرح بالعربية، والحل بالإنجليزية كما يُكتب في ورقة الامتحان. للصيغة الأصلية للسؤال ارجع إلى ورقة الامتحان الرسمية.
الجزء (a) · 3 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
المطلوب فكّ قوس فيه واحد زائد ضعف مربع السين، مرفوع إلى أس سالب ثلث، بقوى السين التصاعدية حتى الحد الذي فيه السين أس ستة، مع كتابة كل معامل كسرًا دقيقًا في أبسط صورة.
كيف تحلّه؟
استخدم مفكوك ذات الحدين للأسس غير الصحيحة، واجعل الحد الثاني هو ضعف مربع السين كاملًا. كل حد جديد نضرب فيه الأس، ثم الأس ناقص واحد، وهكذا، ونقسم على المضروب. تكفي أربعة حدود. الخطأ الشائع: رفع السين دون رفع العدد اثنين معه إلى القوة نفسها.
- 1(1 + 2x²)^(−1/3) = 1 + (−1/3)(2x²) + ((−1/3)(−4/3)/2!)(2x²)² + ((−1/3)(−4/3)(−7/3)/3!)(2x²)³ + …
- 2= 1 − (2/3)x² + (2/9)(4x⁴) − (14/81)(8x⁶) + …
- 3= 1 − (2/3)x² + (8/9)x⁴ − (112/81)x⁶
Answer1 − (2/3)x² + (8/9)x⁴ − (112/81)x⁶
الجزء (b) · درجة واحدة
ماذا يطلب السؤال؟
بعد أن فككت القوس في الجزء الأول إلى متسلسلة، المطلوب «اذكر» مدى قيم السين التي يكون فيها هذا المفكوك صحيحًا. «اذكر» تعني أعطِ النتيجة دون حسابات طويلة.
كيف تحلّه؟
مفكوك واحد زائد مقدار مرفوعًا إلى أس غير صحيح يصح فقط عندما تكون القيمة المطلقة لذلك المقدار أقل من واحد. طبّق ذلك على ضعف مربع السين ثم استخرج حدود السين. الفخ: نسيان القيمة السالبة للسين.
- 1Valid for |2x²| < 1
- 2|x| < 1/√2
Answer−1/√2 < x < 1/√2 (|x| < 1/√2)
الجزء (c) · 3 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
دالة كسرية بسطها اثنان زائد العدد الثابت في مربع السين، ومقامها قوس الجزء الأول مرفوعًا إلى أس ثلث. المطلوب مفكوكها حتى حد السين أس ستة، والمعاملات بدلالة الثابت حيث يلزم.
كيف تحلّه؟
القسمة على القوس مرفوعًا إلى أس ثلث هي الضرب فيه مرفوعًا إلى سالب ثلث، أي في مفكوك الجزء الأول. اضرب البسط في المفكوك حدًّا حدًّا، ثم اجمع الحدود المتشابهة في كل قوة. الفخ: إهمال حد ناتج من ضرب الثابت في حد سابق.
- 1f(x) = (2 + kx²)(1 − (2/3)x² + (8/9)x⁴ − (112/81)x⁶ + …)
- 2= 2 − (4/3)x² + (16/9)x⁴ − (224/81)x⁶ + kx² − (2k/3)x⁴ + (8k/9)x⁶ + …
- 3= 2 + (k − 4/3)x² + (16/9 − 2k/3)x⁴ + (8k/9 − 224/81)x⁶
Answer2 + (k − 4/3)x² + (16/9 − 2k/3)x⁴ + (8k/9 − 224/81)x⁶
الجزء (d) · درجتان
ماذا يطلب السؤال؟
معطى أن معامل السين أس أربعة في مفكوك الدالة الكسرية من الجزء السابق يساوي صفرًا. المطلوب قيمة العدد الثابت الموجود في بسط الدالة.
كيف تحلّه؟
خذ معامل السين أس أربعة من الجزء السابق، وهو مكوّن من حد عددي وحد فيه الثابت، واجعله يساوي صفرًا ثم حلّ المعادلة الخطية.
- 116/9 − 2k/3 = 0
- 2k = 8/3
Answerk = 8/3
الجزء (e) · 5 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
«ومن ثمّ» استخدم المفكوك بعد التعويض بقيمة الثابت لتقدير التكامل المحدد للدالة من صفر إلى نصف، بالتكامل الجبري، مقرّبًا لأربع منازل عشرية.
كيف تحلّه؟
عوّض بقيمة الثابت في المفكوك، فيختفي حد السين أس أربعة. كامل كل حد بإضافة واحد إلى الأس والقسمة على الأس الجديد، ثم عوّض بنصف وبصفر واطرح. الخطأ الشائع: التقريب في الخطوات الوسطى قبل الناتج النهائي.
- 1With k = 8/3: f(x) ≈ 2 + (4/3)x² − (32/81)x⁶
- 2∫ = [2x + 4x³/9 − 32x⁷/567] from 0 to 0.5
- 3= 1 + 4(0.5)³/9 − 32(0.5)⁷/567
- 4= 1.0551 (4 d.p.)
Answer1.0551
تحتاج إلى الشرح من البداية؟ درس التكاملات المحددة والمساحات بالعربي
تدرّب على أسئلة التكاملات المحددة والمساحات
حلّ بنفسك، وصحّح كما في الامتحان، واعرف أين ضاعت الدرجة بالضبط.
تدرّب مجاناً على Lemmara