حل السؤال 5، 4PM1/02 نوفمبر 2023: التكاملات المحددة والمساحات
Pearson Edexcel International GCSE Further Pure Mathematics 4PM1 · Paper 2 · بالآلة الحاسبة · 15 درجة
الشرح بالعربية، والحل بالإنجليزية كما يُكتب في ورقة الامتحان. للصيغة الأصلية للسؤال والرسم ارجع إلى ورقة الامتحان الرسمية.
الجزء (a) · 3 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
من الشكل: منحنى تربيعي يمر بثلاث نقاط معطاة، اثنتان منها على محور السينات. المطلوب «بيّن أن» معادلته هي المعادلة المعطاة.
كيف تحلّه؟
نقطتا القطع مع محور السينات هما الجذران، فاكتب المنحنى ثابتًا في حاصل ضرب قوسين. عوّض بالنقطة الثالثة لتجد الثابت، ثم وسّع وبسّط.
- 1Roots −2 and 6: y = Q(x − 6)(x + 2)
- 2At (4, −6): −6 = Q(−2)(6), so Q = 1/2
- 3y = (1/2)(x² − 4x − 12) = x²/2 − 2x − 6
Answery = x²/2 − 2x − 6 shown
الجزء (b) · 5 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
مستقيم هو العمودي على المنحنى عند النقطة الثالثة. المطلوب «بيّن أن» معادلته هي المعادلة المعطاة.
كيف تحلّه؟
اشتق المنحنى وعوّض بالإحداثي السيني للنقطة لتجد ميل المماس، فميل العمودي سالب مقلوبه. اكتب معادلة المستقيم بالنقطة والميل، ثم اضرب في اثنين ورتّب.
- 1dy/dx = x − 2
- 2At x = 4: dy/dx = 2
- 3Normal gradient = −1/2
- 4y + 6 = −(1/2)(x − 4)
- 5y = −x/2 − 4, so 2y + x + 8 = 0
Answer2y + x + 8 = 0 shown
الجزء (c) · 7 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
من الشكل: المنطقة المظللة محصورة بين المنحنى والعمودي. المطلوب «بالتكامل الجبري» مساحتها الدقيقة.
كيف تحلّه؟
ساوِ معادلتي المنحنى والمستقيم لتجد نقطتي التقاطع، وإحداهما معروفة. المساحة تكامل المستقيم العلوي ناقص المنحنى السفلي بين النقطتين. بسّط الفرق في تكامل واحد ثم عوّض بالحدين. الفخ: الطرح بالعكس فتخرج سالبة، أو تحويلها إلى عدد عشري والمطلوب قيمة دقيقة.
- 1x²/2 − 2x − 6 = −x/2 − 4, so x²/2 − (3/2)x − 2 = 0
- 2(x − 4)(x + 1) = 0, x = −1, 4
- 3Area = ∫ from −1 to 4 of [(−x/2 − 4) − (x²/2 − 2x − 6)] dx
- 4= ∫ from −1 to 4 of (−x²/2 + (3/2)x + 2) dx
- 5= [−x³/6 + (3/4)x² + 2x] from −1 to 4 = 125/12
Answer125/12
تحتاج إلى الشرح من البداية؟ درس التكاملات المحددة والمساحات بالعربي
تدرّب على أسئلة التكاملات المحددة والمساحات
حلّ بنفسك، وصحّح كما في الامتحان، واعرف أين ضاعت الدرجة بالضبط.
تدرّب مجاناً على Lemmara