حل السؤال 6، 4PM1/01 يونيو 2019: المماسات والأعمدة والنقاط الثابتة (متقدم)
Pearson Edexcel International GCSE Further Pure Mathematics 4PM1 · Paper 1 · بالآلة الحاسبة · 11 درجة
الشرح بالعربية، والحل بالإنجليزية كما يُكتب في ورقة الامتحان. للصيغة الأصلية للسؤال ارجع إلى ورقة الامتحان الرسمية.
الجزء (a) · 4 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
حديقة على شكل مستطيل طوله الصاد وعرضه ضعف السين، وعلى كل من طرفيه نصف دائرة نصف قطرها السين. محيطها تسعون مترًا. «بيّن أن» مساحتها تساوي ثابتًا في السين ناقص باي في مربع السين، واذكر قيمة الثابت.
كيف تحلّه؟
المحيط: طولا المستطيل زائد نصفا الدائرتين، أي محيط دائرة كاملة. المساحة: مساحة المستطيل زائد مساحة دائرة كاملة. من معادلة المحيط اجعل ضعف الصاد موضوع القانون، وعوّض في المساحة ثم بسّط. الفخ: إدخال عرضي المستطيل في المحيط مع أنهما داخل الحديقة.
- 1Perimeter: 2y + 2πx = 90
- 2Area: S = 2xy + πx²
- 32y = 90 − 2πx, so S = x(90 − 2πx) + πx²
- 4S = 90x − πx², k = 90
AnswerS = 90x − πx² shown, k = 90
الجزء (b) · 5 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
المطلوب «باستخدام التفاضل» قيمة السين التي تجعل المساحة أكبر ما يمكن، لأربعة أرقام معنوية، مع تبرير أنها تعطي قيمة عظمى.
كيف تحلّه؟
اشتق المساحة بالنسبة للسين واجعل المشتقة صفرًا، ثم حلّ. للتبرير اشتق مرة ثانية: إن كانت المشتقة الثانية سالبة فالقيمة عظمى. الفخ: التقريب لعدد خاطئ من الأرقام المعنوية.
- 1dS/dx = 90 − 2πx
- 2dS/dx = 0 → x = 90/(2π) = 14.32 (4 s.f.)
- 3d²S/dx² = −2π < 0, so S is a maximum
Answerx = 14.32; d²S/dx² = −2π < 0 so maximum
الجزء (c) · درجتان
ماذا يطلب السؤال؟
المطلوب أكبر قيمة لمساحة الحديقة، بالمتر المربع لأقرب عدد صحيح، عند قيمة السين التي وجدتها في الجزء السابق.
كيف تحلّه؟
عوّض بقيمة السين غير المقرّبة في عبارة المساحة من الجزء الأول، ثم قرّب الناتج لأقرب عدد صحيح. الفخ: التعويض في المشتقة بدل المساحة.
- 1S = 90(90/(2π)) − π(90/(2π))²
- 2= 644.57…
- 3= 645 m² (nearest whole number)
Answer645 m² (or 644)
تحتاج إلى الشرح من البداية؟ درس المماسات والأعمدة والنقاط الثابتة (متقدم) بالعربي
تدرّب على أسئلة المماسات والأعمدة والنقاط الثابتة (متقدم)
حلّ بنفسك، وصحّح كما في الامتحان، واعرف أين ضاعت الدرجة بالضبط.
تدرّب مجاناً على Lemmara