حل السؤال 9، 4PM1/01R يونيو 2019: المماسات والأعمدة والنقاط الثابتة (متقدم)
Pearson Edexcel International GCSE Further Pure Mathematics 4PM1 · Paper 1R · بالآلة الحاسبة · 10 درجات
الشرح بالعربية، والحل بالإنجليزية كما يُكتب في ورقة الامتحان. للصيغة الأصلية للسؤال والرسم ارجع إلى ورقة الامتحان الرسمية.
الجزء (a) · 4 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
متوازي مستطيلات أبعاده بدلالة السين والارتفاع، وحجمه معطى. «بيّن أن» مساحة سطحه الكلية تساوي الصيغة المعطاة.
كيف تحلّه؟
من الحجم اجعل الارتفاع موضوع القانون بدلالة السين. اكتب المساحة الكلية: ضعف مجموع مساحات الأوجه الثلاثة المختلفة. ثم عوّض الارتفاع واختصر. الفخ: نسيان أن كل وجه مكرر مرتين.
- 1Volume: 3x²h = 540 → h = 180/x²
- 2S = 2(3x² + 3xh + xh) = 6x² + 8xh
- 3S = 6x² + 8x(180/x²) = 6x² + 1440/x
AnswerS = 6x² + 1440/x shown
الجزء (b) · 5 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
«باستخدام التفاضل» جد قيمة السين التي تجعل المساحة أصغر ما يمكن لثلاثة أرقام معنوية، و«برّر» أنها صغرى.
كيف تحلّه؟
اكتب الكسر على صورة أس سالب واشتق، ثم ساوِ المشتقة بالصفر فيظهر مكعب السين يساوي عددًا، فخذ الجذر التكعيبي. للتبرير احسب المشتقة الثانية وبيّن أنها موجبة لكل سين موجبة. الفخ: خطأ في اشتقاق الأس السالب.
- 1dS/dx = 12x − 1440x⁻²
- 212x − 1440/x² = 0 → x³ = 120
- 3x = 4.932… ≈ 4.93
- 4d²S/dx² = 12 + 2880/x³ > 0 for x > 0, so S is a minimum
Answerx = 4.93; d²S/dx² = 12 + 2880/x³ > 0 so minimum
الجزء (c) · درجة واحدة
ماذا يطلب السؤال؟
المطلوب أصغر قيمة لمساحة السطح الكلية، باستخدام قيمة السين من الجزء السابق، لثلاثة أرقام معنوية.
كيف تحلّه؟
عوّض قيمة السين غير المقرّبة من الآلة الحاسبة في صيغة المساحة، ثم قرّب الناتج. الفخ: استخدام القيمة المقرّبة فيتغير الرقم الأخير.
- 1S = 6(4.932…)² + 1440/4.932… = 437.9…
- 2S = 438 cm² (3 s.f.)
Answer438 cm²
تحتاج إلى الشرح من البداية؟ درس المماسات والأعمدة والنقاط الثابتة (متقدم) بالعربي
تدرّب على أسئلة المماسات والأعمدة والنقاط الثابتة (متقدم)
حلّ بنفسك، وصحّح كما في الامتحان، واعرف أين ضاعت الدرجة بالضبط.
تدرّب مجاناً على Lemmara