حل السؤال 10، 4PM1/01 يونيو 2020: معدلات التغير المرتبطة والتغيرات الصغيرة
Pearson Edexcel International GCSE Further Pure Mathematics 4PM1 · Paper 1 · بالآلة الحاسبة · 12 درجة
الشرح بالعربية، والحل بالإنجليزية كما يُكتب في ورقة الامتحان. للصيغة الأصلية للسؤال والرسم ارجع إلى ورقة الامتحان الرسمية.
الجزء (a) · 4 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
الشكل يوضح مخروطًا قائمًا وقطاعًا دائريًا يُطوى ليكوّن سطحه الجانبي. المطلوب «أثبت» أن مساحة السطح الجانبي تساوي باي في نصف قطر القاعدة في الراسم.
كيف تحلّه؟
عند الطيّ يصبح نصف قطر القطاع هو الراسم، ويصبح طول القوس محيط قاعدة المخروط. من طول القوس أوجد زاوية القطاع بالراديان، ثم عوّض في مساحة القطاع: نصف مربع نصف القطر في الزاوية، واختصر.
- 1The arc length L becomes the base circumference: L = 2πr
- 2R = l, and L = lθ ⇒ θ = 2πr/l
- 3A = ½l²θ = ½l² × 2πr/l
- 4= πrl
AnswerA = πrl proved
الجزء (b) · 3 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
رمل يُسكب فيكوّن مخروطًا ارتفاعه دائمًا ثلاثة أمثال نصف قطر قاعدته. معطى أن مشتقة المساحة الجانبية بالنسبة لنصف القطر ثابت في باي في نصف القطر. المطلوب القيمة الدقيقة للثابت.
كيف تحلّه؟
أوجد الراسم بدلالة نصف القطر بفيثاغورس مع الارتفاع، ثم عوّض في قانون الجزء الأول فتصبح المساحة بدلالة نصف القطر فقط. اشتق وقارن بالصورة المعطاة، واترك الجذر كما هو.
- 1h = 3r ⇒ l = √(r² + 9r²) = r√10
- 2A = πr × r√10 = √10 πr²
- 3dA/dr = 2√10 πr ⇒ k = 2√10
Answerk = 2√10
الجزء (c) · 5 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
الحجم يزداد بمعدل ثابت معطى. المطلوب معدل زيادة المساحة الجانبية عندما يكون الارتفاع القيمة المعطاة، بثلاثة أرقام معنوية.
كيف تحلّه؟
اكتب الحجم بدلالة نصف القطر فقط باستخدام علاقة الارتفاع، واشتقه. أوجد نصف القطر من الارتفاع المعطى. ثم قاعدة السلسلة: مشتقة المساحة بالنسبة لنصف القطر، في مقلوب مشتقة الحجم، في معدل الحجم. الفخ: التعويض بالارتفاع مكان نصف القطر.
- 1dV/dt = 1.5
- 2V = (1/3)πr² × 3r = πr³ ⇒ dV/dr = 3πr²
- 3h = 24 ⇒ r = 8
- 4dA/dt = dA/dr × dr/dV × dV/dt = 2√10 π × 8 × 1/(3π × 64) × 1.5
- 5= 0.3952… ≈ 0.395 cm²/s
Answer0.395 cm²/s
تحتاج إلى الشرح من البداية؟ درس معدلات التغير المرتبطة والتغيرات الصغيرة بالعربي
تدرّب على أسئلة معدلات التغير المرتبطة والتغيرات الصغيرة
حلّ بنفسك، وصحّح كما في الامتحان، واعرف أين ضاعت الدرجة بالضبط.
تدرّب مجاناً على Lemmara