LemmaraLemmaraEnglishابدأ مجاناً

حل السؤال 7، 4PM1/02 يونيو 2020: المتتابعات الهندسية ومجموعها إلى ما لا نهاية

Pearson Edexcel International GCSE Further Pure Mathematics 4PM1 · Paper 2 · بالآلة الحاسبة · 12 درجة

الشرح بالعربية، والحل بالإنجليزية كما يُكتب في ورقة الامتحان. للصيغة الأصلية للسؤال ارجع إلى ورقة الامتحان الرسمية.

الجزء (a) · 5 درجات

ماذا يطلب السؤال؟

متسلسلة هندسية حدودها الثلاثة الأولى مقادير خطية في السين معطاة. المطلوب القيمتان الممكنتان للسين.

كيف تحلّه؟

في المتسلسلة الهندسية النسبة بين الحد الثاني والأول تساوي النسبة بين الثالث والثاني. ساوِ النسبتين واضرب تبادليًا، أي مربع الحد الأوسط يساوي حاصل ضرب الطرفين. فكّ ورتّب معادلة تربيعية وحلّلها.

  1. 1(x + 1)/(x − 3) = (4x − 2)/(x + 1)
  2. 2(x + 1)² = (4x − 2)(x − 3)
  3. 33x² − 16x + 5 = 0
  4. 4(x − 5)(3x − 1) = 0 ⇒ x = 5 or 1/3

Answerx = 5 or x = 1/3

الجزء (b) · درجتان

ماذا يطلب السؤال؟

معطى أن السين أقل من واحد، فنأخذ القيمة المناسبة من الجزء الأول. المطلوب «بيّن أن» المتسلسلة متقاربة.

كيف تحلّه؟

عوّض بالقيمة المناسبة للسين لتجد الحدين الأولين، ثم الأساس هو الثاني على الأول. المتسلسلة متقاربة إذا كانت القيمة المطلقة للأساس أقل من واحد، فاذكر هذا الشرط صراحة.

  1. 1x = 1/3: r = (x + 1)/(x − 3) = (4/3)/(−8/3)
  2. 2r = −1/2
  3. 3|r| < 1, so the series converges

Answerr = −1/2, and −1 < r < 1 so the series is convergent

الجزء (c) · درجتان

ماذا يطلب السؤال؟

المجموع إلى ما لا نهاية للمتسلسلة نفسها رمزه حرف المجموع. المطلوب قيمة هذا المجموع.

كيف تحلّه؟

أوجد الحد الأول بالتعويض بقيمة السين، ثم المجموع إلى ما لا نهاية هو الحد الأول مقسومًا على واحد ناقص الأساس. انتبه أن الأساس سالب، فواحد ناقص سالب يصبح جمعًا.

  1. 1a = x − 3 = −8/3
  2. 2S = a/(1 − r) = (−8/3)/(3/2)
  3. 3= −16/9

AnswerS = −16/9

الجزء (d) · 3 درجات

ماذا يطلب السؤال؟

معطى أن نسبة المجموع إلى ما لا نهاية إلى مجموع أول عدد من الحدود تساوي كسرًا معطى. المطلوب هذا العدد.

كيف تحلّه؟

اقسم القانونين فيختصر الحد الأول ويختصر واحد ناقص الأساس، ويبقى واحد على واحد ناقص الأساس مرفوعًا إلى العدد. ساوِ بالكسر واعزل قوة الأساس، ثم اكتب الناتج قوة لنصف. تذكّر أن الأساس سالب، فالقوة الزوجية تعطي ناتجًا موجبًا.

  1. 1S/Sₙ = [a/(1 − r)] × [(1 − r)/(a(1 − rⁿ))] = 1/(1 − rⁿ)
  2. 21/(1 − rⁿ) = 256/255 ⇒ 255 = 256(1 − rⁿ)
  3. 3rⁿ = 1/256 ⇒ (−1/2)ⁿ = 1/256
  4. 4n = 8

Answern = 8

تحتاج إلى الشرح من البداية؟ درس المتتابعات الهندسية ومجموعها إلى ما لا نهاية بالعربي

تدرّب على أسئلة المتتابعات الهندسية ومجموعها إلى ما لا نهاية

حلّ بنفسك، وصحّح كما في الامتحان، واعرف أين ضاعت الدرجة بالضبط.

تدرّب مجاناً على Lemmara

أسئلة أخرى على المتتابعات الهندسية ومجموعها إلى ما لا نهاية

كل أسئلة المتتابعات الهندسية ومجموعها إلى ما لا نهاية ←