حل السؤال 8، 4PM1/02 يونيو 2020: المماسات والأعمدة والنقاط الثابتة (متقدم)
Pearson Edexcel International GCSE Further Pure Mathematics 4PM1 · Paper 2 · بالآلة الحاسبة · 15 درجة
الشرح بالعربية، والحل بالإنجليزية كما يُكتب في ورقة الامتحان. للصيغة الأصلية للسؤال ارجع إلى ورقة الامتحان الرسمية.
الجزء (a) · 4 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
منحنيان أُسّيان: الأول خمسة أمثال العدد النيبيري أس سالب ضعف السين زائد أربعة، والثاني العدد النيبيري أس ضعف السين. يتقاطعان في نقطة. المطلوب إحداثياتها الدقيقة.
كيف تحلّه؟
ساوِ المعادلتين واضرب في الأسّي ذي الأس الموجب، فتحصل على معادلة تربيعية في العدد النيبيري أس ضعف السين. حلّلها وارفض القيمة السالبة لأن الأسّي موجب دائمًا. ثم خذ اللوغاريتم الطبيعي للطرفين، وأوجد الصاد بالتعويض. اترك الناتج بالقيمة الدقيقة.
- 15e^(−2x) + 4 = e^(2x) ⇒ 5e^(−2x) + 4 − e^(2x) = 0
- 2(5e^(−x) − e^x)(e^(−x) + e^x) = 0
- 3e^(2x) = 5 ⇒ x = (1/2)ln 5 (e^(−x) = −e^x is impossible)
- 4y = 5, so A = ((1/2)ln 5, 5)
AnswerA = ((1/2)ln 5, 5)
الجزء (b) · 5 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
المماس للمنحنى الأول عند نقطة التقاطع يقطع محور السينات في نقطة. المطلوب «بيّن أن» إحداثيها السيني يساوي الصورة المعطاة باللوغاريتم الطبيعي لخمسة.
كيف تحلّه؟
اشتق معادلة المنحنى الأول، وعوّض بإحداثي نقطة التقاطع لتجد ميل المماس، مستفيدًا من أن الأسّي هناك قيمته معروفة من الجزء الأول. اكتب معادلة المماس ثم ضع الصاد صفرًا واعزل السين.
- 1dy/dx = −10e^(−2x)
- 2At A: dy/dx = −10 × 1/5 = −2
- 3Tangent: y − 5 = −2(x − (1/2)ln 5)
- 4y = 0 ⇒ x = (1/2)ln 5 + 5/2 = (1/2)(5 + ln 5)
Answerx coordinate of B = (1/2)(5 + ln 5) shown
الجزء (c) · 6 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
المماس للمنحنى الثاني عند النقطة نفسها يقطع محور السينات في نقطة ثالثة. المطلوب مساحة المثلث المكوّن من النقاط الثلاث.
كيف تحلّه؟
أوجد ميل المماس للمنحنى الثاني عند النقطة، ثم معادلته ونقطة تقاطعه مع محور السينات. القاعدة هي المسافة بين نقطتي محور السينات، فيختصر اللوغاريتم عند الطرح. الارتفاع هو الإحداثي الصادي لنقطة التقاطع، والمساحة نصف القاعدة في الارتفاع.
- 1C₂: dy/dx = 2e^(2x) = 10 at A
- 2Tangent: y − 5 = 10(x − (1/2)ln 5)
- 3y = 0 ⇒ x_D = (1/2)(ln 5 − 1)
- 4BD = (1/2)(5 + ln 5) − (1/2)(ln 5 − 1) = 3
- 5Area = ½ × 3 × 5 = 15/2
Answer15/2 (= 7.5)
تحتاج إلى الشرح من البداية؟ درس المماسات والأعمدة والنقاط الثابتة (متقدم) بالعربي
تدرّب على أسئلة المماسات والأعمدة والنقاط الثابتة (متقدم)
حلّ بنفسك، وصحّح كما في الامتحان، واعرف أين ضاعت الدرجة بالضبط.
تدرّب مجاناً على Lemmara