حل السؤال 6، 4PM1/01 يونيو 2021: جذرا α و β للمعادلة التربيعية
Pearson Edexcel International GCSE Further Pure Mathematics 4PM1 · Paper 1 · بالآلة الحاسبة · 10 درجات
الشرح بالعربية، والحل بالإنجليزية كما يُكتب في ورقة الامتحان. للصيغة الأصلية للسؤال ارجع إلى ورقة الامتحان الرسمية.
الجزء (a) · 3 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
المطلوب «بيّن أن» مربع الفرق بين ألفا وبيتا يساوي مربع مجموعهما ناقص أربعة أمثال حاصل ضربهما.
كيف تحلّه؟
فكّ مربع الفرق، ثم اكتب مجموع المربعين على صورة مربع المجموع ناقص ضعف حاصل الضرب، واجمع الحدين اللذين فيهما حاصل الضرب.
- 1(α − β)² = α² − 2αβ + β²
- 2α² + β² = (α + β)² − 2αβ
- 3(α − β)² = (α + β)² − 2αβ − 2αβ = (α + β)² − 4αβ
Answer(α − β)² = (α + β)² − 4αβ shown
الجزء (b) · 3 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
معادلة تربيعية معاملاتها بدلالة ثابت موجب، وجذراها ألفا وبيتا حيث ألفا أكبر. المطلوب «بيّن أن» الفرق بين الجذرين يساوي الصورة المعطاة.
كيف تحلّه؟
من المعادلة أوجد مجموع الجذرين وحاصل ضربهما بدلالة الثابت. عوّض في نتيجة الجزء الأول، ثم خذ الجذر وبسّطه. اختر الجذر الموجب لأن ألفا أكبر والثابت موجب.
- 1α + β = 7k, αβ = k²
- 2(α − β)² = (7k)² − 4k² = 45k²
- 3α − β = √(45k²) = 3k√5 (positive since α > β, k > 0)
Answerα − β = 3k√5 shown
الجزء (c) · 4 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
«ومن ثمّ» المطلوب تكوين معادلة تربيعية جذراها ألفا زائد واحد وبيتا ناقص واحد، على الصورة المعطاة والمعاملات بدلالة الثابت.
كيف تحلّه؟
المجموع الجديد يساوي مجموع ألفا وبيتا لأن الواحد يختصر. حاصل الضرب الجديد بعد الفك يساوي حاصل ضرب ألفا وبيتا ناقص الفرق بينهما ناقص واحد، فاستخدم الجزء الثاني. ثم المعادلة: مربع السين ناقص المجموع في السين زائد حاصل الضرب.
- 1Sum = (α + 1) + (β − 1) = α + β = 7k
- 2Product = (α + 1)(β − 1) = αβ − (α − β) − 1
- 3= k² − 3k√5 − 1
- 4x² − 7kx + k² − 3k√5 − 1 = 0
Answerx² − 7kx + k² − 3k√5 − 1 = 0 (p = −7k, q = k² − 3k√5 − 1)
تحتاج إلى الشرح من البداية؟ درس جذرا α و β للمعادلة التربيعية بالعربي
تدرّب على أسئلة جذرا α و β للمعادلة التربيعية
حلّ بنفسك، وصحّح كما في الامتحان، واعرف أين ضاعت الدرجة بالضبط.
تدرّب مجاناً على Lemmara