حل السؤال 7، 4PM1/01 يونيو 2021: المماسات والأعمدة والنقاط الثابتة (متقدم)
Pearson Edexcel International GCSE Further Pure Mathematics 4PM1 · Paper 1 · بالآلة الحاسبة · 11 درجة
الشرح بالعربية، والحل بالإنجليزية كما يُكتب في ورقة الامتحان. للصيغة الأصلية للسؤال ارجع إلى ورقة الامتحان الرسمية.
الجزء (a) · 5 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
منحنى معادلته الصاد تساوي السين على مربع السين زائد أربعة. المطلوب، باستخدام التفاضل، إحداثيات النقاط الثابتة عليه.
كيف تحلّه؟
اشتق بقاعدة القسمة وبسّط البسط. اجعل البسط صفرًا وحلّ لتجد قيمتي السين، ثم عوّض في معادلة المنحنى لتجد الصاد لكل منهما. الفخ: نسيان القيمة السالبة.
- 1dy/dx = ((x² + 4) − x(2x))/(x² + 4)²
- 2= (4 − x²)/(x² + 4)²
- 3dy/dx = 0 ⇒ 4 − x² = 0 ⇒ x = ±2
- 4x = 2: y = 2/8 = 1/4; x = −2: y = −1/4
Answer(2, 1/4) and (−2, −1/4)
الجزء (b) · 4 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
المطلوب «بيّن أن» المشتقة الثانية تساوي الصورة المعطاة التي مقامها مكعب مربع السين زائد أربعة.
كيف تحلّه؟
اشتق المشتقة الأولى بقاعدة القسمة مرة أخرى، ومشتقة المقام المربع بقاعدة السلسلة. اختصر عاملًا واحدًا من مربع السين زائد أربعة من البسط والمقام، ثم بسّط البسط وأخرج العامل المشترك. الفخ: عدم الاختصار مبكرًا فيصبح الفك طويلًا ومعرّضًا للخطأ.
- 1d²y/dx² = (−2x(x² + 4)² − (4 − x²) × 2(x² + 4)(2x))/(x² + 4)⁴
- 2Cancel (x² + 4): = (−2x(x² + 4) − 4x(4 − x²))/(x² + 4)³
- 3= (−2x³ − 8x − 16x + 4x³)/(x² + 4)³ = (2x³ − 24x)/(x² + 4)³
- 4= 2x(x² − 12)/(x² + 4)³
Answerd²y/dx² = 2x(x² − 12)/(x² + 4)³ shown
الجزء (c) · درجتان
ماذا يطلب السؤال؟
«ومن ثمّ أو بطريقة أخرى» المطلوب تحديد نوع كل نقطة من النقطتين الثابتتين: عظمى أم صغرى.
كيف تحلّه؟
عوّض بالإحداثي السيني لكل نقطة في المشتقة الثانية. إذا كانت الإشارة سالبة فالنقطة عظمى، وإذا كانت موجبة فصغرى. تكفي الإشارة دون حساب دقيق.
- 1x = 2: d²y/dx² = 4(−8)/512 = −1/16 < 0, so maximum
- 2x = −2: d²y/dx² = 1/16 > 0, so minimum
Answer(2, 1/4) is a maximum; (−2, −1/4) is a minimum
تحتاج إلى الشرح من البداية؟ درس المماسات والأعمدة والنقاط الثابتة (متقدم) بالعربي
تدرّب على أسئلة المماسات والأعمدة والنقاط الثابتة (متقدم)
حلّ بنفسك، وصحّح كما في الامتحان، واعرف أين ضاعت الدرجة بالضبط.
تدرّب مجاناً على Lemmara