حل السؤال 10، 4PM1/01 يونيو 2022: الهندسة المتجهية
Pearson Edexcel International GCSE Further Pure Mathematics 4PM1 · Paper 1 · بالآلة الحاسبة · 14 درجة
الشرح بالعربية، والحل بالإنجليزية كما يُكتب في ورقة الامتحان. للصيغة الأصلية للسؤال والرسم ارجع إلى ورقة الامتحان الرسمية.
الجزء (a) · 4 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
في المثلث بالشكل، متجها ضلعين من الرأس عند الأصل معلومان. نقطة على الضلع الثالث تقسمه بنسبة ثلاثة إلى واحد، ونقطتان هما منتصف الضلع الأول ومنتصف القطعة من الأصل إلى نقطة التقسيم. المطلوب متجه نقطة التقسيم من الأصل، والمتجه بين المنتصفين، بدلالة المتجهين في أبسط صورة.
كيف تحلّه؟
لمتجه نقطة التقسيم: انطلق من الأصل إلى الرأس الأول ثم أضف ثلاثة أرباع المتجه من الرأس الأول إلى الثاني، وهذا المتجه هو الثاني ناقص الأول. للمتجه بين المنتصفين: ارجع من المنتصف الأول إلى الأصل (نصف المتجه الأول بإشارة سالبة) ثم أضف نصف المتجه الذي وجدته. الخطأ الشائع: عكس اتجاه متجه فتضيع الإشارة.
- 1OP = OA + (3/4)AB = a + (3/4)(b − a) = (1/4)a + (3/4)b
- 2MN = MO + (1/2)OP = −(1/2)a + (1/2)((1/4)a + (3/4)b)
- 3MN = −(3/8)a + (3/8)b
AnswerOP = (1/4)a + (3/4)b; MN = −(3/8)a + (3/8)b
الجزء (b) · 6 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
نقطة جديدة على الضلع الذي يمثله المتجه الثاني، بحيث تقع على استقامة واحدة مع الرأس الأول ومنتصف القطعة. المطلوب «بطريقة المتجهات» متجه هذه النقطة من الأصل بدلالة المتجه الثاني فقط.
كيف تحلّه؟
اكتب متجه النقطة بطريقتين: مرة مضاعفًا مجهولًا للمتجه الثاني لأنها على ذلك الضلع، ومرة بالانطلاق من الرأس الأول ثم السير مضاعفًا مجهولًا آخر من المتجه نحو المنتصف. قارن معاملي كل متجه في الطريقتين فتحصل على معادلتين في المجهولين. الفخ: استخدام المجهول نفسه في الطريقتين.
- 1C on OB: OC = λb
- 2AN = AO + ON = −a + (1/2)((1/4)a + (3/4)b) = −(7/8)a + (3/8)b
- 3C on line AN: OC = OA + μAN = (1 − (7/8)μ)a + (3/8)μb
- 4Compare a: 1 − (7/8)μ = 0 ⇒ μ = 8/7
- 5Compare b: λ = (3/8)μ = 3/7, so OC = (3/7)b
AnswerOC = (3/7)b
الجزء (c) · 4 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
المطلوب القيمة الدقيقة للنسبة بين مساحة الشكل الرباعي (المكوّن من الرأس الأول والمنتصفين ونقطة التقسيم) ومساحة المثلث كله.
كيف تحلّه؟
لا تحتاج إلى مساحات فعلية، استخدم النسب. المثلث المكوّن من الأصل والرأس الأول ونقطة التقسيم يشترك مع المثلث الكبير في الارتفاع، فنسبة مساحته هي نسبة قاعدته. والمثلث الصغير عند الأصل ضلعاه نصفا ضلعي ذلك المثلث، فمساحته ربع مساحته. اطرح لتحصل على الرباعي. احذر: النصف في الطول يعطي ربعًا في المساحة لا نصفًا.
- 1Area OAP = (3/4) × area OAB (AP : AB = 3 : 4)
- 2M, N are midpoints of OA, OP: area OMN = (1/4) × area OAP = (3/16) × area OAB
- 3Area AMNP = (3/4 − 3/16) × area OAB = (9/16) × area OAB
- 4K = 9/16
AnswerK = 9/16
تحتاج إلى الشرح من البداية؟ درس الهندسة المتجهية بالعربي
تدرّب على أسئلة الهندسة المتجهية
حلّ بنفسك، وصحّح كما في الامتحان، واعرف أين ضاعت الدرجة بالضبط.
تدرّب مجاناً على Lemmara