حل السؤال 9، 4PM1/01 يونيو 2022: التكاملات المحددة والمساحات
Pearson Edexcel International GCSE Further Pure Mathematics 4PM1 · Paper 1 · بالآلة الحاسبة · 16 درجة
الشرح بالعربية، والحل بالإنجليزية كما يُكتب في ورقة الامتحان. للصيغة الأصلية للسؤال والرسم ارجع إلى ورقة الامتحان الرسمية.
الجزء (a) · 4 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
دالة كثيرة حدود من الدرجة الرابعة تُكتب على صورة مربع القوس «السين ناقص اثنين» مضروبًا في عبارة تربيعية معاملاتها الثلاثة مجهولة. المطلوب إيجاد هذه المعاملات.
كيف تحلّه؟
فكّ مربع القوس ثم اضربه في العبارة التربيعية، وقارن المعاملات في الطرفين: معامل القوة الرابعة يعطي المعامل الأول، والحد الثابت يعطي الأخير، ومعامل القوة الثالثة يعطي الأوسط. لاحظ أن الدالة ليس فيها حد من الدرجة الأولى، فمعامله صفر ويصلح للتحقق.
- 1Compare x⁴: a = 3
- 2Compare constants: 4c = 64 ⇒ c = 16
- 3Compare x³: b − 4a = 4 ⇒ b = 16
Answera = 3, b = 16, c = 16
الجزء (b) · 7 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
المنحنى في الشكل يقطع محور السينات في ثلاث نقاط. المنطقة المظللة تحت المحور بين الأصل ونقطة القطع الموجبة مساحتها تساوي مساحة المنطقة فوق المحور بين نقطة مجهولة على الجزء السالب والأصل. المطلوب «باستخدام التكامل الجبري» إثبات أن إحداثي تلك النقطة يحقق المعادلة المعطاة.
كيف تحلّه؟
فكّ معادلة المنحنى إلى كثيرة حدود ثم كاملها. احسب التكامل من الصفر إلى نقطة القطع الموجبة فيخرج سالبًا لأن المنطقة تحت المحور، فخذ قيمته المطلقة. ثم احسب التكامل من العدد المجهول إلى الصفر وساوِه بتلك المساحة. اضرب في عدد مناسب لإزالة الكسور فتظهر دالة الجزء الأول، فاستخدم تحليلها. الفخ: إبقاء إشارة السالب للمنطقة تحت المحور.
- 1y = x³ + x² − 6x
- 2∫ from 0 to 2 of (x³ + x² − 6x) dx = [x⁴/4 + x³/3 − 3x²] from 0 to 2 = 4 + 8/3 − 12 = −16/3
- 3Area between n and 0: 0 − (n⁴/4 + n³/3 − 3n²) = 16/3
- 4Multiply by −12: 3n⁴ + 4n³ − 36n² + 64 = 0
- 5By (a): (n − 2)²(3n² + 16n + 16) = 0
Answer(x − 2)²(3x² + 16x + 16) = 0 shown
الجزء (c) · 5 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
«ومن ثمّ» استخدم المعادلة السابقة لإيجاد الإحداثيات الدقيقة للنقطة على المنحنى الواقعة فوق تلك النقطة على المحور.
كيف تحلّه؟
حلّل العامل التربيعي في المعادلة فتحصل على جذرين، أما الجذر المكرر فهو نقطة القطع الموجبة فلا يصلح. اختر الجذر الواقع بين نقطة القطع السالبة للمنحنى والأصل، واستبعد الآخر لأنه خارج هذا المجال. ثم عوّض به في معادلة المنحنى لإيجاد الصاد واتركها كسرًا دقيقًا. الخطأ الشائع: اختيار الجذر الخطأ دون الرجوع إلى الشكل.
- 13x² + 16x + 16 = 0 ⇒ (3x + 4)(x + 4) = 0 ⇒ x = −4/3 or x = −4
- 2N lies between M(−3, 0) and O, so n = −4/3
- 3y = (−4/3)(−4/3 + 3)(−4/3 − 2) = (−4/3)(5/3)(−10/3) = 200/27
- 4A(−4/3, 200/27)
AnswerA(−4/3, 200/27)
تحتاج إلى الشرح من البداية؟ درس التكاملات المحددة والمساحات بالعربي
تدرّب على أسئلة التكاملات المحددة والمساحات
حلّ بنفسك، وصحّح كما في الامتحان، واعرف أين ضاعت الدرجة بالضبط.
تدرّب مجاناً على Lemmara