حل السؤال 4، 4PM1/02R يونيو 2024: نظرية العامل ونظرية الباقي
Pearson Edexcel International GCSE Further Pure Mathematics 4PM1 · Paper 2R · بالآلة الحاسبة · 11 درجة
الشرح بالعربية، والحل بالإنجليزية كما يُكتب في ورقة الامتحان. للصيغة الأصلية للسؤال ارجع إلى ورقة الامتحان الرسمية.
الجزء (a) · 6 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
دالة تكعيبية فيها ثابتان. الباقي عند قسمة مشتقتها على «السين زائد اثنين» معلوم، و«السين زائد خمسة» عامل للدالة نفسها. المطلوب أولًا «بيّن أن» الثابت الأول اثنان، وثانيًا قيمة الثابت الثاني.
كيف تحلّه؟
اشتق الدالة أولًا، ثم بنظرية الباقي عوّض بسالب اثنين في المشتقة وساوِ بالباقي. وبنظرية العوامل عوّض بسالب خمسة في الدالة الأصلية وساوِ بالصفر. تحصل على معادلتين خطيتين في الثابتين؛ حلّهما معًا. الفخ: تطبيق الشرط الأول على الدالة بدل مشتقتها.
- 1f′(x) = 3px² + 2qx − 37
- 2f′(−2) = 12p − 4q − 37 = −33, so 12p − 4q = 4
- 3f(−5) = −125p + 25q + 185 − 12q = 0, so −125p + 13q = −185
- 4Solve: from the first, q = 3p − 1
- 5−125p + 39p − 13 = −185, so p = 2
- 6q = 5
Answer(i) p = 2 shown (ii) q = 5
الجزء (b) · 3 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
«ومن ثمّ» تعني استخدم الثابتين من الجزء السابق. المطلوب تحليل الدالة تحليلًا كاملًا بطريقة جبرية.
كيف تحلّه؟
عوّض الثابتين، ثم اقسم على العامل المعروف بالقسمة المطوّلة أو بمقارنة المعاملات لتحصل على عبارة تربيعية، ثم حلّلها إلى قوسين. الفخ: التوقف عند العامل التربيعي دون تحليله.
- 1f(x) = 2x³ + 5x² − 37x − 60
- 2Divide by (x + 5): quotient 2x² − 5x − 12
- 32x² − 5x − 12 = (2x + 3)(x − 4)
- 4f(x) = (x + 5)(2x + 3)(x − 4)
Answerf(x) = (x + 5)(2x + 3)(x − 4)
الجزء (c) · درجتان
ماذا يطلب السؤال؟
«ومن ثمّ» تعني استخدم التحليل من الجزء السابق. المطلوب حل المعادلة: الدالة التكعيبية تساوي صفرًا.
كيف تحلّه؟
اجعل كل قوس من التحليل يساوي صفرًا واحسب السين منه. انتبه للقوس الذي معامل السين فيه ليس واحدًا، فالجواب منه كسر. الفخ: الخطأ في الإشارة عند نقل العدد.
- 1(x + 5)(2x + 3)(x − 4) = 0
- 2x = −5, x = −3/2, x = 4
Answerx = −5, x = 4, x = −3/2
تحتاج إلى الشرح من البداية؟ درس نظرية العامل ونظرية الباقي بالعربي
تدرّب على أسئلة نظرية العامل ونظرية الباقي
حلّ بنفسك، وصحّح كما في الامتحان، واعرف أين ضاعت الدرجة بالضبط.
تدرّب مجاناً على Lemmara