حل السؤال 11، 4PM1/01 يونيو 2023: التكاملات المحددة والمساحات
Pearson Edexcel International GCSE Further Pure Mathematics 4PM1 · Paper 1 · بالآلة الحاسبة · 14 درجة
الشرح بالعربية، والحل بالإنجليزية كما يُكتب في ورقة الامتحان. للصيغة الأصلية للسؤال ارجع إلى ورقة الامتحان الرسمية.
الجزء (a) · 4 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
دالة تربيعية معامل مربع السين فيها سالب. المطلوب كتابتها على صورة ثابت في مربع (السين زائد ثابت) زائد ثابت، وإيجاد الثوابت الثلاثة.
كيف تحلّه؟
أخرج سالب واحد عاملًا مشتركًا من حدّي السين، ثم أكمل المربع داخل القوس: نصف معامل السين يدخل القوس، ونطرح مربعه. وزّع الإشارة السالبة على ما بداخل القوس الكبير ثم اجمع الثوابت. الفخ: نسيان أن الطرح داخل القوس يصبح جمعًا بعد الضرب في السالب.
- 1f(x) = −(x² − 6x) + 10
- 2= −[(x − 3)² − 9] + 10
- 3= −(x − 3)² + 19
- 4A = −1, B = −3, C = 19
AnswerA = −1, B = −3, C = 19
الجزء (b) · درجتان
ماذا يطلب السؤال؟
«ومن ثمّ» جد: أولًا قيمة السين التي تكون عندها الدالة أكبر ما يمكن، وثانيًا هذه القيمة العظمى.
كيف تحلّه؟
الحد المربع مضروب في سالب، فهو دائمًا أقل من أو يساوي صفرًا. تكون الدالة أكبر ما يمكن عندما يكون المربع صفرًا، أي عندما يكون ما داخل القوس صفرًا، وتكون القيمة العظمى هي الثابت الأخير. احذر من إشارة الثابت داخل القوس.
- 1−(x − 3)² ≤ 0, greatest when x = 3
- 2Greatest value = 19
Answer(i) x = 3 (ii) 19
الجزء (c) · 3 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
منحنى ثانٍ تربيعي يقطع المنحنى الأول في نقطتين. المطلوب الإحداثي السيني لكل من نقطتي التقاطع.
كيف تحلّه؟
ساوِ معادلتي المنحنيين، وانقل كل الحدود إلى طرف واحد لتحصل على معادلة تربيعية، ثم حلّلها إلى قوسين وجد الجذرين. الخطأ الشائع: الخطأ في الإشارات عند النقل.
- 1x² − x + 13 = 10 + 6x − x²
- 22x² − 7x + 3 = 0
- 3(2x − 1)(x − 3) = 0
- 4x = 1/2, 3
Answerx = 1/2 and x = 3
الجزء (d) · 5 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
المطلوب «باستخدام التكامل الجبري» المساحة الدقيقة للمنطقة المحصورة بين المنحنيين.
كيف تحلّه؟
المساحة تساوي تكامل (المنحنى الأعلى ناقص المنحنى الأسفل) بين نقطتي التقاطع من الجزء السابق. حدّد الأعلى بالتعويض بقيمة بينهما، وبسّط الفرق قبل التكامل، ثم كامل وعوّض بالحدين واترك الناتج كسرًا. الفخ: الطرح بالعكس فتخرج المساحة سالبة.
- 1Area = ∫ from 1/2 to 3 of [(10 + 6x − x²) − (x² − x + 13)] dx
- 2= ∫ from 1/2 to 3 of (−2x² + 7x − 3) dx
- 3= [−2x³/3 + 7x²/2 − 3x] from 1/2 to 3
- 4= (−18 + 31.5 − 9) − (−1/12 + 7/8 − 3/2) = 9/2 + 17/24
- 5= 125/24
Answer125/24
تحتاج إلى الشرح من البداية؟ درس التكاملات المحددة والمساحات بالعربي
تدرّب على أسئلة التكاملات المحددة والمساحات
حلّ بنفسك، وصحّح كما في الامتحان، واعرف أين ضاعت الدرجة بالضبط.
تدرّب مجاناً على Lemmara