حل السؤال 5، 4PM1/01 يونيو 2023: المماسات والأعمدة والنقاط الثابتة (متقدم)
Pearson Edexcel International GCSE Further Pure Mathematics 4PM1 · Paper 1 · بالآلة الحاسبة · 11 درجة
الشرح بالعربية، والحل بالإنجليزية كما يُكتب في ورقة الامتحان. للصيغة الأصلية للسؤال ارجع إلى ورقة الامتحان الرسمية.
الجزء (a) · 4 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
متوازي مستطيلات عرضه السين وطوله أربعة أضعافه وارتفاعه مجهول، وحجمه معلوم. المطلوب «بيّن أن» مساحته السطحية تساوي العبارة المعطاة بدلالة السين وحدها.
كيف تحلّه؟
من الحجم: العرض في الطول في الارتفاع يساوي الحجم المعطى، فاجعل الارتفاع موضوع القانون. المساحة السطحية ضعف مجموع مساحات ثلاثة أوجه مختلفة؛ اكتبها ثم عوّض بالارتفاع وبسّط. الفخ: نسيان أن لكل وجه وجهًا مقابلًا مساويًا له.
- 1V = x × 4x × h = 4x²h = 75, so h = 75/(4x²)
- 2S = 2(4x² + xh + 4xh) = 8x² + 10xh
- 3S = 8x² + 10x × 75/(4x²)
- 4S = 8x² + 375/(2x)
AnswerS = 8x² + 375/(2x) shown
الجزء (b) · 5 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
مع تغير السين، المطلوب «باستخدام التفاضل»: أولًا قيمة السين التي تجعل المساحة أصغر ما يمكن (ثلاثة أرقام معنوية)، وثانيًا «تبرير» أنها صغرى.
كيف تحلّه؟
اشتق المساحة: الحد الكسري مضاعف للسين أس سالب واحد، فمشتقته سالبة ومقامها مربع السين. ساوِ المشتقة بالصفر واجعل مكعب السين موضوع القانون، ثم خذ الجذر التكعيبي. للتبرير: احسب المشتقة الثانية وبيّن أنها موجبة عند هذه القيمة. الخطأ الشائع: الاكتفاء بقول «صغرى» دون ذكر الإشارة.
- 1dS/dx = 16x − 375/(2x²)
- 2Set dS/dx = 0: 16x = 375/(2x²), so x³ = 375/32
- 3x = 2.2714… ≈ 2.27
- 4d²S/dx² = 16 + 375/x³ ≈ 48
- 5x > 0 so d²S/dx² > 0, so S is a minimum
Answer(i) x = 2.27 (ii) d²S/dx² = 16 + 375/x³ (≈ 48) > 0, so minimum
الجزء (c) · درجتان
ماذا يطلب السؤال؟
بعد إيجاد قيمة السين في الجزء السابق، المطلوب أصغر قيمة للمساحة السطحية مقرّبة لثلاثة أرقام معنوية.
كيف تحلّه؟
عوّض بقيمة السين غير المقرّبة في عبارة المساحة الأصلية واحسب، ثم قرّب في النهاية. الفخ: التعويض بقيمة مقرّبة مبكرًا أو التعويض في المشتقة.
- 1S = 8(2.2714)² + 375/(2 × 2.2714)
- 2= 41.27 + 82.55 = 123.82…
- 3S ≈ 124 cm²
AnswerS = 124 cm²
تحتاج إلى الشرح من البداية؟ درس المماسات والأعمدة والنقاط الثابتة (متقدم) بالعربي
تدرّب على أسئلة المماسات والأعمدة والنقاط الثابتة (متقدم)
حلّ بنفسك، وصحّح كما في الامتحان، واعرف أين ضاعت الدرجة بالضبط.
تدرّب مجاناً على Lemmara