حل السؤال 9، 4PM1/01 يونيو 2023: قوانين الجمع
Pearson Edexcel International GCSE Further Pure Mathematics 4PM1 · Paper 1 · بالآلة الحاسبة · 13 درجة
الشرح بالعربية، والحل بالإنجليزية كما يُكتب في ورقة الامتحان. للصيغة الأصلية للسؤال ارجع إلى ورقة الامتحان الرسمية.
الجزء (a) · 4 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
باستخدام قوانين ورقة القوانين، المطلوب «بيّن أن»: أولًا مربع جيب تمام الزاوية يساوي (جيب تمام ضعفها زائد واحد) على اثنين، وثانيًا مربع جيبها يساوي (واحد ناقص جيب تمام ضعفها) على اثنين.
كيف تحلّه؟
ابدأ من قانون جيب تمام المجموع بزاويتين متساويتين: جيب تمام الضعف يساوي مربع جيب التمام ناقص مربع الجيب. للأول استبدل مربع الجيب بواحد ناقص مربع جيب التمام، وللثاني استبدل العكس، ثم اجعل المربع المطلوب موضوع القانون.
- 1cos 2A = cos(A + A) = cos²A − sin²A
- 2Using sin²A = 1 − cos²A: cos 2A = 2cos²A − 1, so cos²A = (cos 2A + 1)/2
- 3Using cos²A = 1 − sin²A: cos 2A = 1 − 2sin²A, so sin²A = (1 − cos 2A)/2
Answercos²A = (cos 2A + 1)/2 and sin²A = (1 − cos 2A)/2 shown
الجزء (b) · 5 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
المطلوب «بيّن أن» حاصل ضرب القوسين المثلثيين المعطيين يساوي نصف العبارة المعطاة بدلالة جيب تمام ضعف السين وجيب ضعف السين.
كيف تحلّه؟
افكّ القوسين فتحصل على مربع الجيب وحاصل ضرب الجيب في جيب التمام ومربع جيب التمام. استبدل المربعين بنتائج الجزء الأول، واستبدل حاصل ضرب الجيب في جيب التمام بنصف جيب الضعف. اجمع الحدود المتشابهة وأخرج النصف عاملًا مشتركًا. الفخ: الخطأ في جمع حدّي حاصل الضرب عند الفك.
- 1Expand: 2sin²x − 6sin x cos x − sin x cos x + 3cos²x = 2sin²x − 7sin x cos x + 3cos²x
- 22sin²x = 2 × (1 − cos 2x)/2 = 1 − cos 2x
- 33cos²x = 3 × (cos 2x + 1)/2
- 47sin x cos x = (7/2) sin 2x
- 5Total: 1 − cos 2x + (3/2)cos 2x + 3/2 − (7/2)sin 2x = (1/2)(cos 2x − 7 sin 2x + 5)
Answer(2 sin x − cos x)(sin x − 3 cos x) = (1/2)(cos 2x − 7 sin 2x + 5) shown
الجزء (c) · 4 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
الصاد تساوي حاصل الضرب نفسه. المطلوب حلّ المعادلة: المشتقة تساوي صفرًا، في المجال من صفر إلى مئة وثمانين درجة، لأقرب درجة.
كيف تحلّه؟
اشتق الصورة المبسطة من الجزء السابق لا الأصلية: مشتقة جيب تمام الضعف سالب ضعف جيب الضعف، ومشتقة جيب الضعف ضعف جيب تمام الضعف. ساوِ بالصفر واقسم على جيب تمام الضعف لتحصل على قيمة لظل ضعف السين. حوّل المجال إلى ضعف السين بين صفر وثلاثمئة وستين، وجد كل الزوايا، ثم اقسم على اثنين. الخطأ الشائع: إيجاد حل واحد فقط.
- 1y = (1/2)(cos 2x − 7 sin 2x + 5)
- 2dy/dx = −sin 2x − 7cos 2x = 0
- 3tan 2x = −7
- 42x = 98.13°, 278.13°
- 5x = 49°, 139°
Answerx = 49°, 139°
تحتاج إلى الشرح من البداية؟ درس قوانين الجمع بالعربي
تدرّب على أسئلة قوانين الجمع
حلّ بنفسك، وصحّح كما في الامتحان، واعرف أين ضاعت الدرجة بالضبط.
تدرّب مجاناً على Lemmara