حل السؤال 9، 4PM1/01R يونيو 2023: التكاملات المحددة والمساحات
Pearson Edexcel International GCSE Further Pure Mathematics 4PM1 · Paper 1R · بالآلة الحاسبة · 14 درجة
الشرح بالعربية، والحل بالإنجليزية كما يُكتب في ورقة الامتحان. للصيغة الأصلية للسؤال ارجع إلى ورقة الامتحان الرسمية.
الجزء (a) · 3 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
المطلوب مفكوك القوس (واحد زائد ضعف السين) مرفوعًا لسالب ثلث، بقوى السين التصاعدية حتى حدّ السين تكعيب، والمعاملات كسور في أبسط صورة.
كيف تحلّه؟
استخدم مفكوك ذات الحدين: واحد، زائد الأس في الحد، زائد الأس في الأس ناقص واحد على مضروب اثنين في مربع الحد، وهكذا حتى المكعب. الحد هنا ضعف السين كاملًا، فضعه داخل قوس وارفع الاثنين أيضًا. الفخ: رفع السين وحدها للقوة ونسيان الاثنين.
- 1(1 + 2x)^(−1/3) = 1 + (−1/3)(2x) + (−1/3)(−4/3)/2! (2x)² + (−1/3)(−4/3)(−7/3)/3! (2x)³
- 2= 1 − (2/3)x + (2/9)(4x²) − (14/81)(8x³)
- 3= 1 − (2/3)x + (8/9)x² − (112/81)x³
Answer1 − (2/3)x + (8/9)x² − (112/81)x³
الجزء (b) · درجة واحدة
ماذا يطلب السؤال؟
للمفكوك الذي وجدته في الجزء السابق، المطلوب مجال قيم السين التي يكون فيها هذا المفكوك صحيحًا (صالحًا للاستعمال).
كيف تحلّه؟
مفكوك ذات الحدين بأس غير صحيح يصح فقط عندما تكون القيمة المطلقة للحد المضاف إلى الواحد أقل من واحد. طبّق هذا على ضعف السين، ثم اقسم واكتب المجال متباينة مزدوجة.
- 1Valid for |2x| < 1
- 2So −1/2 < x < 1/2
Answer−1/2 < x ≤ 1/2 (accept −1/2 < x < 1/2 or |x| < 1/2)
الجزء (c) · 3 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
دالة جديدة بسطها اثنان زائد ثابت مجهول في مربع السين، ومقامها القوس نفسه مرفوعًا لثلث. المطلوب مفكوكها حتى حدّ السين تكعيب، والمعاملات بدلالة الثابت حيث يلزم.
كيف تحلّه؟
القسمة على القوس أس ثلث هي الضرب في القوس أس سالب ثلث، أي في المفكوك من الجزء (أ). اضرب البسط في المفكوك واحتفظ فقط بالحدود حتى السين تكعيب، ثم اجمع الحدود المتشابهة، فيظهر الثابت في معاملي مربع السين ومكعبها. الفخ: نسيان ضرب حد الثابت في حد السين.
- 1f(x) = (2 + kx²)(1 − (2/3)x + (8/9)x² − (112/81)x³ + …)
- 2= 2 − (4/3)x + (16/9)x² − (224/81)x³ + kx² − (2k/3)x³ + …
- 3= 2 − (4/3)x + (16/9 + k)x² − (224/81 + 2k/3)x³
Answer2 − (4/3)x + (16/9 + k)x² − (224/81 + 2k/3)x³
الجزء (d) · درجتان
ماذا يطلب السؤال؟
أُعطيت قيمة معامل السين تكعيب في مفكوك الدالة الجديدة من الجزء السابق. المطلوب القيمة الدقيقة للثابت المجهول.
كيف تحلّه؟
خذ معامل السين تكعيب من الجزء السابق، وهو عبارة خطية في الثابت، وساوِه بالقيمة المعطاة، ثم حل المعادلة بالكسور بدقة. الفخ: إهمال الإشارة السالبة أمام المعامل.
- 1−224/81 − 2k/3 = −8/3
- 2−2k/3 = −8/3 + 224/81 = 8/81
- 3k = −4/27
Answerk = −4/27
الجزء (e) · 5 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
«ومن ثمّ» استخدم المفكوك بعد التعويض بالثابت. المطلوب تقدير تكامل الدالة بين حدّين صغيرين معطيين، لأربع منازل عشرية، بالتكامل الجبري.
كيف تحلّه؟
عوّض قيمة الثابت في المفكوك لتحصل على كثيرة حدود من الدرجة الثالثة. كامل حدًا حدًا: زِد الأس واحدًا واقسم على الأس الجديد. عوّض الحد العلوي ثم السفلي واطرح، وقرّب في النهاية فقط. الفخ: محاولة تكامل الدالة الأصلية بدل المفكوك، أو التقريب في الخطوات الوسطى.
- 1With k = −4/27: f(x) ≈ 2 − (4/3)x + (44/27)x² − (8/3)x³
- 2∫ f(x) dx = 2x − (2/3)x² + (44/81)x³ − (2/3)x⁴
- 3Substitute 0.2 and 0.1 and subtract
- 4= 0.1828
Answer0.1828
تحتاج إلى الشرح من البداية؟ درس التكاملات المحددة والمساحات بالعربي
تدرّب على أسئلة التكاملات المحددة والمساحات
حلّ بنفسك، وصحّح كما في الامتحان، واعرف أين ضاعت الدرجة بالضبط.
تدرّب مجاناً على Lemmara