حل السؤال 6، 4PM1/01R يونيو 2023: معدلات التغير المرتبطة والتغيرات الصغيرة
Pearson Edexcel International GCSE Further Pure Mathematics 4PM1 · Paper 1R · بالآلة الحاسبة · 11 درجة
الشرح بالعربية، والحل بالإنجليزية كما يُكتب في ورقة الامتحان. للصيغة الأصلية للسؤال والرسم ارجع إلى ورقة الامتحان الرسمية.
الجزء (a) · 3 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
من الشكل: وعاء على شكل مخروط رأسه إلى الأسفل، وزاويته الرأسية ستون درجة. ارتفاع الزيت ع وحجمه ح. المطلوب «بيّن أن» الحجم يساوي تُسع النسبة التقريبية في مكعب الارتفاع.
كيف تحلّه؟
نصف الزاوية الرأسية ثلاثون درجة، فظل الثلاثين يساوي نصف قطر سطح الزيت مقسومًا على الارتفاع. اكتب نصف القطر بدلالة الارتفاع، ثم عوّض في قانون حجم المخروط (ثلث النسبة التقريبية في مربع نصف القطر في الارتفاع) وبسّط. الفخ: استخدام الستين كاملة بدل نصفها.
- 1Half the vertical angle is 30°, so tan 30° = r/h
- 2r = h/√3
- 3V = (1/3)πr²h = (1/3)π(h²/3)h
- 4V = (1/9)πh³
AnswerV = (1/9)πh³ shown
الجزء (b) · 8 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
الزيت يتسرب من أسفل الوعاء بمعدل ثابت. المطلوب معدل تغير مساحة سطح الزيت «بالقيمة الدقيقة» عند ارتفاع معيّن.
كيف تحلّه؟
معدل تغير الحجم سالب لأن الزيت يتناقص. سطح الزيت دائرة نصف قطرها معروف بدلالة الارتفاع، فاكتب مساحتها بدلالة الارتفاع واشتقها، واشتق الحجم بالنسبة للارتفاع أيضًا. بقاعدة السلسلة: معدل تغير المساحة يساوي مشتقة المساحة بالنسبة للارتفاع في معدل تغير الحجم مقسومًا على مشتقة الحجم بالنسبة للارتفاع. عوّض الارتفاع في النهاية. الفخ: نسيان الإشارة السالبة للتسرب.
- 1dV/dt = −4
- 2A = πr² = π(h/√3)² = πh²/3, so dA/dh = 2πh/3
- 3dV/dh = πh²/3
- 4dA/dt = dA/dh × dV/dt ÷ dV/dh = (2πh/3) × (−4) × 3/(πh²) = −8/h
- 5When h = 24: dA/dt = −8/24 = −1/3 cm²/s
Answer−1/3 cm²/s
تحتاج إلى الشرح من البداية؟ درس معدلات التغير المرتبطة والتغيرات الصغيرة بالعربي
تدرّب على أسئلة معدلات التغير المرتبطة والتغيرات الصغيرة
حلّ بنفسك، وصحّح كما في الامتحان، واعرف أين ضاعت الدرجة بالضبط.
تدرّب مجاناً على Lemmara