حل السؤال 5، 4PM1/01R يونيو 2023: نظرية العامل ونظرية الباقي
Pearson Edexcel International GCSE Further Pure Mathematics 4PM1 · Paper 1R · بالآلة الحاسبة · 16 درجة
الشرح بالعربية، والحل بالإنجليزية كما يُكتب في ورقة الامتحان. للصيغة الأصلية للسؤال والرسم ارجع إلى ورقة الامتحان الرسمية.
الجزء (a) · 5 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
دالة تكعيبية فيها ثابتان مجهولان. الباقي عند قسمتها على «السين ناقص أربعة» معلوم، و«السين ناقص واحد» عامل منها. المطلوب «بيّن أن» الثابت الأول يساوي سالب ثلاثة، ثم أوجد الثابت الثاني.
كيف تحلّه؟
نظرية العوامل: قيمة الدالة عند واحد تساوي صفرًا. نظرية الباقي: قيمة الدالة عند أربعة تساوي الباقي المعطى. تحصل على معادلتين خطيتين في الثابتين؛ اطرح إحداهما من الأخرى ليختفي الثابت الثاني فتصل إلى القيمة المطلوبة، ثم عوّض لتجد الثابت الثاني.
- 1f(1) = 0: 2 + a − 14 + b = 0, so a + b = 12
- 2f(4) = 39: 128 + 16a − 56 + b = 39, so 16a + b = −33
- 3Subtract: 15a = −45, a = −3
- 4b = 12 − (−3) = 15
Answera = −3 shown, b = 15
الجزء (b) · 4 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
«ومن ثمّ» تعني استخدم الثابتين من الجزء السابق. المطلوب تحليل الدالة التكعيبية تحليلًا كاملًا إلى عوامل خطية.
كيف تحلّه؟
اقسم الدالة على العامل المعروف بالقسمة المطوّلة أو بمقارنة المعاملات، فتحصل على عبارة تربيعية. حلّل التربيعية إلى قوسين، واكتب الدالة حاصل ضرب ثلاثة أقواس. الفخ: الوقوف عند العامل التربيعي دون تحليله، فهذا ليس «تحليلًا كاملًا».
- 1f(x) = 2x³ − 3x² − 14x + 15
- 2Divide by (x − 1): quotient 2x² − x − 15
- 32x² − x − 15 = (2x + 5)(x − 3)
- 4f(x) = (x − 1)(2x + 5)(x − 3)
Answerf(x) = (x − 1)(2x + 5)(x − 3)
الجزء (c) · 3 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
من الشكل: المنحنى يقطع محور السينات في ثلاث نقاط مرتبة من اليسار إلى اليمين، أولاها سالبة. المطلوب كتابة الإحداثيات السينية الثلاثة.
كيف تحلّه؟
نقاط التقاطع مع محور السينات هي جذور الدالة، وتقرؤها مباشرة من التحليل في الجزء السابق بجعل كل قوس صفرًا. ثم رتّبها تصاعديًا لتطابق الترتيب في الشكل. الفخ: الخطأ في الإشارة عند استخراج الجذر من كل قوس.
- 1Roots of f(x) = 0: x = −5/2, 1, 3
- 2p < q < r, so p = −5/2, q = 1, r = 3
Answerp = −5/2, q = 1, r = 3
الجزء (d) · 4 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
المنطقة المظللة بين المنحنى ومحور السينات جزآن: أحدهما فوق المحور والآخر تحته. المطلوب مساحتها الكلية «بالقيمة الدقيقة» بالتكامل الجبري.
كيف تحلّه؟
كامل الدالة حدًا حدًا. احسب التكامل من الجذر الأول إلى الثاني، ثم من الثاني إلى الثالث، كلًا على حدة. الجزء تحت المحور يعطي تكاملًا سالبًا، فخذ قيمته الموجبة، ثم اجمع المساحتين. الفخ الكبير: التكامل مرة واحدة من الجذر الأول إلى الأخير، فيُلغي الجزء السالب جزءًا من الموجب.
- 1Area = ∫ from −5/2 to 1 of f(x) dx + |∫ from 1 to 3 of f(x) dx|
- 2∫ f(x) dx = x⁴/2 − x³ − 7x² + 15x
- 3From −5/2 to 1: 15/2 − (−1475/32) = 1715/32
- 4From 1 to 3: (−9/2) − 15/2 = −12, so that area is 12
- 5Total = 1715/32 + 12 = 2099/32
Answer2099/32
تحتاج إلى الشرح من البداية؟ درس نظرية العامل ونظرية الباقي بالعربي
تدرّب على أسئلة نظرية العامل ونظرية الباقي
حلّ بنفسك، وصحّح كما في الامتحان، واعرف أين ضاعت الدرجة بالضبط.
تدرّب مجاناً على Lemmara