حل السؤال 11، 4PM1/02R يونيو 2023: قوانين الجمع
Pearson Edexcel International GCSE Further Pure Mathematics 4PM1 · Paper 2R · بالآلة الحاسبة · 12 درجة
الشرح بالعربية، والحل بالإنجليزية كما يُكتب في ورقة الامتحان. للصيغة الأصلية للسؤال ارجع إلى ورقة الامتحان الرسمية.
الجزء (a) · 3 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
المطلوب باستخدام قانون من صفحة القوانين «بيّن أن» مربع جيب الزاوية يساوي نصف (واحد ناقص جيب تمام ضعف الزاوية).
كيف تحلّه؟
ابدأ من قانون جيب تمام مجموع زاويتين واجعل الزاويتين متساويتين، فيصير جيب تمام الضعف مربع جيب التمام ناقص مربع الجيب. استبدل مربع جيب التمام بواحد ناقص مربع الجيب، ثم اجعل مربع الجيب موضوع القانون.
- 1cos 2A = cos(A + A) = cos²A − sin²A
- 2= (1 − sin²A) − sin²A = 1 − 2sin²A
- 32sin²A = 1 − cos 2A, so sin²A = (1/2)(1 − cos 2A)
Answersin²A = (1/2)(1 − cos 2A) shown
الجزء (b) · 5 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
المطلوب «بيّن أن» مجموع الجيب أس أربعة وجيب التمام أس أربعة يساوي (ثلاثة زائد جيب تمام أربعة أمثال الزاوية) على أربعة.
كيف تحلّه؟
اكتب الجيب أس أربعة على أنه مربع مربع الجيب، واستخدم نتيجة الجزء السابق ونظيرتها لمربع جيب التمام. وسّع المربعين واجمعهما فتختفي حدود جيب تمام الضعف المفردة. يبقى مربع جيب تمام الضعف، فطبّق القانون نفسه مرة أخرى على ضعف الزاوية، ثم بسّط. الفخ: الخطأ في توسيع مربع القوس.
- 1cos²x = (1/2)(1 + cos 2x) and sin²x = (1/2)(1 − cos 2x)
- 2sin⁴x + cos⁴x = (1/4)[(1 − cos 2x)² + (1 + cos 2x)²]
- 3= (1/4)(2 + 2cos²2x) = (1/2)(1 + cos²2x)
- 4cos²2x = (1 + cos 4x)/2
- 5= (1/2)(1 + (1 + cos 4x)/2) = (3 + cos 4x)/4
Answersin⁴x + cos⁴x = (3 + cos 4x)/4 shown
الجزء (c) · 4 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
«ومن ثمّ» استخدم النتيجة السابقة بزاوية تساوي نصف ثيتا. المطلوب حل معادلة فيها الجيب وجيب التمام أس أربعة لنصف ثيتا، وجيب ضعف ثيتا، في المجال من صفر إلى أقل من مئة وثمانين درجة، لأقرب منزلة عشرية.
كيف تحلّه؟
أخرج ثمانية عاملًا مشتركًا وطبّق نتيجة الجزء (ب) بنصف ثيتا، فيظهر جيب تمام ضعف ثيتا. تختفي الأعداد الثابتة من الطرفين، فيبقى جيب ضعف ثيتا وجيب تمامه؛ اقسم لتحصل على ظل ضعف ثيتا. حل لضعف ثيتا في ضعف المجال الأصلي، ثم اقسم على اثنين. الفخ: نسيان الحل الثاني بعد إضافة مئة وثمانين.
- 1With x = θ/2: 8(sin⁴(θ/2) + cos⁴(θ/2)) = 8 × (3 + cos 2θ)/4 = 6 + 2cos 2θ
- 26 + 2cos 2θ = 5 sin 2θ + 6, so 5 sin 2θ = 2 cos 2θ
- 3tan 2θ = 2/5
- 42θ = 21.80°, 201.80°
- 5θ = 10.9°, 100.9°
Answerθ = 10.9°, 100.9°
تحتاج إلى الشرح من البداية؟ درس قوانين الجمع بالعربي
تدرّب على أسئلة قوانين الجمع
حلّ بنفسك، وصحّح كما في الامتحان، واعرف أين ضاعت الدرجة بالضبط.
تدرّب مجاناً على Lemmara