حل السؤال 3، 4PM1/02R يونيو 2023: المماسات والأعمدة والنقاط الثابتة (متقدم)
Pearson Edexcel International GCSE Further Pure Mathematics 4PM1 · Paper 2R · بالآلة الحاسبة · 10 درجات
الشرح بالعربية، والحل بالإنجليزية كما يُكتب في ورقة الامتحان. للصيغة الأصلية للسؤال والرسم ارجع إلى ورقة الامتحان الرسمية.
الجزء (a) · 3 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
من الشكل: قطاع دائري نصف قطره نق وزاويته ثيتا بالراديان، ومساحته معلومة. المطلوب «بيّن أن» محيط القطاع يساوي ضعف نق زائد ألف وثلاثمئة وخمسين مقسومة على نق.
كيف تحلّه؟
من قانون مساحة القطاع (نصف مربع نصف القطر في الزاوية) اجعل الزاوية موضوع القانون. المحيط هو نصفا القطر زائد طول القوس، وطول القوس نصف القطر في الزاوية. عوّض الزاوية وبسّط. الفخ: نسيان أحد نصفي القطر في المحيط.
- 1Area: (1/2)r²θ = 675, so θ = 1350/r²
- 2P = 2r + rθ
- 3P = 2r + r × 1350/r² = 2r + 1350/r
AnswerP = 2r + 1350/r shown
الجزء (b) · 5 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
نصف القطر متغير. المطلوب باستخدام التفاضل أصغر قيمة للمحيط، مكتوبة على صورة عدد صحيح في جذر عدد أولي.
كيف تحلّه؟
اكتب الكسر بأس سالب ثم اشتق المحيط بالنسبة لنصف القطر. ساوِ المشتقة بالصفر وحل لمربع نصف القطر، وخذ الجذر الموجب وبسّطه بإخراج أكبر مربع كامل. عوّض في المحيط وبسّط حتى تصل للصورة المطلوبة. الفخ: إعطاء نصف القطر بدل قيمة المحيط.
- 1dP/dr = 2 − 1350/r²
- 22 − 1350/r² = 0, so r² = 675, r = 15√3
- 3P = 2(15√3) + 1350/(15√3)
- 4= 30√3 + 30√3 = 60√3
Answer60√3
الجزء (c) · درجتان
ماذا يطلب السؤال؟
المطلوب «علّل» أي أثبت بالتفاضل أن قيمة المحيط التي وجدتها في الجزء السابق هي قيمة صغرى وليست عظمى.
كيف تحلّه؟
اشتق مرة ثانية فتجد عبارة فيها مكعب نصف القطر في المقام. بما أن نصف القطر موجب فالمشتقة الثانية موجبة عند النقطة، والموجب يعني صغرى. اكتب الإشارة والاستنتاج صراحة.
- 1d²P/dr² = 2700/r³
- 2r > 0, so d²P/dr² > 0 (≈ 0.15 at r = 15√3)
- 3So the value is a minimum
Answerd²P/dr² = 2700/r³ > 0 for r > 0, so P is a minimum
تحتاج إلى الشرح من البداية؟ درس المماسات والأعمدة والنقاط الثابتة (متقدم) بالعربي
تدرّب على أسئلة المماسات والأعمدة والنقاط الثابتة (متقدم)
حلّ بنفسك، وصحّح كما في الامتحان، واعرف أين ضاعت الدرجة بالضبط.
تدرّب مجاناً على Lemmara