حل السؤال 9، 4PM1/02R يونيو 2023: المماسات والأعمدة والنقاط الثابتة (متقدم)
Pearson Edexcel International GCSE Further Pure Mathematics 4PM1 · Paper 2R · بالآلة الحاسبة · 15 درجة
الشرح بالعربية، والحل بالإنجليزية كما يُكتب في ورقة الامتحان. للصيغة الأصلية للسؤال ارجع إلى ورقة الامتحان الرسمية.
الجزء (a) · درجتان
ماذا يطلب السؤال؟
منحنى معادلته كسر: بسطه ثلاثة ناقص ضعف السين، ومقامه السين زائد ستة. المطلوب معادلتا خطي التقارب الموازيين لمحور السينات ولمحور الصادات.
كيف تحلّه؟
خط التقارب الأفقي: معامل السين في البسط مقسومًا على معامل السين في المقام، لأن السين تكبر جدًا فتطغى حدودها. خط التقارب الرأسي عند القيمة التي تجعل المقام صفرًا. اكتب كلًا منهما معادلة. الفخ: إهمال الإشارة السالبة لمعامل السين في البسط.
- 1As x → ±∞, y → −2x/x = −2
- 2Vertical asymptote where x + 6 = 0: x = −6
Answer(i) y = −2 (ii) x = −6
الجزء (b) · درجتان
ماذا يطلب السؤال؟
للمنحنى الكسري نفسه، المطلوب إحداثيات نقطة تقاطعه مع محور السينات، وإحداثيات نقطة تقاطعه مع محور الصادات.
كيف تحلّه؟
مع محور السينات: الصاد صفر، أي البسط صفر. مع محور الصادات: السين صفر، فاحسب الكسر. اكتب كل جواب نقطةً بإحداثييها.
- 1y = 0: 3 − 2x = 0, x = 3/2
- 2x = 0: y = 3/6 = 1/2
Answer(i) (3/2, 0) (ii) (0, 1/2)
الجزء (c) · 3 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
المطلوب رسم تقريبي للمنحنى، مع إظهار خطي التقارب ونقطتي التقاطع مع المحورين بوضوح.
كيف تحلّه؟
ارسم خطي التقارب متقطعين. المنحنى فرعان: الفرع الأيمن على يمين خط التقارب الرأسي وفوق الأفقي، ينزل من الأعلى ويمر بنقطتي التقاطع مع المحورين ثم يقترب من الخط الأفقي. الفرع الأيسر على يسار الخط الرأسي وتحت الأفقي. الفخ: جعل أحد الفرعين يعبر خط التقارب.
- 1Draw dashed asymptotes x = −6 and y = −2
- 2Right branch: above y = −2, right of x = −6, through (0, 1/2) and (3/2, 0)
- 3Left branch: below y = −2, left of x = −6
AnswerTwo branches with asymptotes x = −6 and y = −2: the right-hand branch comes down from near x = −6, passes through (0, 1/2) and (3/2, 0) and approaches y = −2; the left-hand branch lies below y = −2 to the left of x = −6
الجزء (d) · 3 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
المطلوب «بيّن أن» ميل المماس للمنحنى الكسري سالب دائمًا، أي أن المشتقة سالبة عند كل قيمة مسموحة للسين.
كيف تحلّه؟
اشتق بقاعدة القسمة: المقام في مشتقة البسط ناقص البسط في مشتقة المقام، على مربع المقام. ستختفي حدود السين في البسط ويبقى عدد سالب. علّل: مربع المقام موجب دائمًا والبسط سالب، فالكسر سالب.
- 1dy/dx = [(x + 6)(−2) − (3 − 2x)(1)]/(x + 6)²
- 2= (−2x − 12 − 3 + 2x)/(x + 6)² = −15/(x + 6)²
- 3(x + 6)² > 0 and −15 < 0, so the gradient is always negative
Answerdy/dx = −15/(x + 6)², which is always negative — shown
الجزء (e) · 5 درجات
ماذا يطلب السؤال؟
مماس للمنحنى ميله سالب ثلاثة أخماس، ومقطعه من محور الصادات ك موجب. المطلوب قيمة ك.
كيف تحلّه؟
ساوِ المشتقة من الجزء السابق بالميل المعطى، فتحصل على مربع قوس يساوي عددًا، أي قيمتين للسين. لكل قيمة احسب الصاد من معادلة المنحنى، ثم اكتب معادلة المماس واستخرج مقطعه. اختر الحالة التي يكون فيها المقطع موجبًا وارفض الأخرى مع ذكر السبب. الفخ: الاكتفاء بقيمة واحدة دون التحقق من الشرط.
- 1−15/(x + 6)² = −3/5, so (x + 6)² = 25
- 2x + 6 = ±5, so x = −1 or x = −11
- 3At x = −1: y = (3 + 2)/5 = 1
- 4Tangent: y − 1 = −(3/5)(x + 1), so y = −(3/5)x + 2/5
- 5k = 2/5 (x = −11 gives y = −5 and k = −58/5 < 0, rejected)
Answerk = 2/5
تحتاج إلى الشرح من البداية؟ درس المماسات والأعمدة والنقاط الثابتة (متقدم) بالعربي
تدرّب على أسئلة المماسات والأعمدة والنقاط الثابتة (متقدم)
حلّ بنفسك، وصحّح كما في الامتحان، واعرف أين ضاعت الدرجة بالضبط.
تدرّب مجاناً على Lemmara